歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 0.75 kW のモータが歯数 18 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 50 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 0.75 kWn1 = 1440 rpmN1 = 18N2 = 50η = 100%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 24、各遊星歯車の歯数は 15 である。リングギヤを固定し、太陽歯車を 1440 rpm で駆動する。遊星キャリヤの回転速度 nc を求めよ。
Ns = 24Np = 15ns = 1440 rpm
nc = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 75 mm、長さ 1.2 m、区間 BC は直径 30 mm、長さ 3 m である。自由端 C にトルク 200 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 200 N·md1 = 75 mm, L1 = 1.2 md2 = 30 mm, L2 = 3 mG = 80 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 10 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 10 kWN = 1000 rpmdo = 40 mmdi = 20 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 60 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 60 MPaσy = −20 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 500 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 0.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 30° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 500 mmt = 5 mmp = 0.5 MPaα = 30°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 75 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 120 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 120 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 10 mm の 5 周期後に 0.8 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 10 mmx5 = 0.8 mmn = 5
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量がばね k₃ = 20 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 80 kN/m と k₂ = 10 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 4.974 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/150.8 = 4.974 N·m
答え
T1 = 4.974 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nc = 443.1 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·15 = 54
リング固定時のウィリスの式
nr = 0 とおき、キャリヤの回転速度について解きます。
(1440 − nc)/(0 − nc) = −54/24
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1440·24/78 = 443.1 rpm
答え
nc = 443.1 rpm
キャリヤは太陽歯車と同じ向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: φC = 5.459 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 200000·1200/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.0009658 rad
φBC = 200000·3000/(80000·79522) = 0.09431 rad
全ねじれ角
φC = 0.0009658 + 0.09431 = 0.09528 rad = 5.459°
答え
φC = 5.459°
4.軸のねじり
答え: τmax = 8.106 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m
断面二次極モーメント
J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 95493·20/235619 = 8.106 MPa
答え
τmax = 8.106 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −73.15 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −60/72.11 = −0.8321, sin 2θs = −40/72.11 = −0.5547
2θs = atan2(−40, −60) = −146.3°
要素上の角度
θs = −73.15°
確認: θs − θp = −73.15 − (−28.15) = −45°
答え
θs = −73.15°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 21.88 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 0.5·250/5 = 25 MPa
σa = pr/(2t) = 12.5 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 12.5·sin²30° + 25·cos²30° = 21.88 MPa
答え
σn = 21.88 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 13.26 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 75·1000/113.1 = 663.1 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 663.1/100000 = 0.006631 = 6631 µε
伸び
δ = ε·L = 0.006631·2000 mm = 13.26 mm
答え
δ = 13.26 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 646.2 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·5890 = 7.108 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0009091) = 0.0009091 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0009091·7.108 × 10⁸ = 646168 N = 646.2 kN
答え
Pmax = 646.2 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 2.047 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/3000² = 2047 N = 2.047 kN
答え
Pcr = 2.047 kN
10.柱の座屈
答え: d = 87.81 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·120000 = 360000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 87.81 mm
答え
d = 87.81 mm
確認：細長比 KL/r は 182.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.08014
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/5)·ln(10/0.8) = 0.5051
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5051/√(39.48 + 0.2552) = 0.08014
答え
ζ = 0.08014
12.機械振動
答え: fn = 9.105 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 80 + 10 = 90 kN/m
keq = 90·20/(90 + 20) = 16.36 kN/m
固有振動数
ωn = √(16364/5) = 57.21 rad/s
fn = 57.21/(2π) = 9.105 Hz
答え
fn = 9.105 Hz
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