歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 45 mm である。これらをモジュール 1.5 mm、減速比 1.5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 歯車の歯数 N2 はいくつ必要か。
a = 45 mmm = 1.5 mmi = 1.5
N2 =
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 24、各遊星歯車の歯数は 18 である。遊星キャリヤを固定し、太陽歯車を 1440 rpm で駆動する。リングギヤの回転速度 nr（大きさ）を求めよ。
Ns = 24Np = 18ns = 1440 rpm
nr = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 25 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 3000 rpm で 50 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 50 kWN = 3000 rpmdi/do = 0.75τallow = 80 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 40 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 50 mm の中実軸が軸引張力 20 kNとトルク 750 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 50 mmF = 20 kNT = 750 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 120 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 200 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 200 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 120 kN区間 1：Ø25 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 45 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 45 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 25 mm の 5 周期後に 1.1 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 25 mmx5 = 1.1 mmn = 5
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 40 kN/m、下のばねは k₂ = 12 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 40 kgk1 = 40 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N2 = 36
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·45/1.5 = 60
比で分ける
N1 = 60/(1 + 1.5) = 24
N2 = 1.5·24 = 36
答え
N2 = 36
2.歯車と歯車列
答え: nr = 576 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·18 = 60
キャリヤ固定時のウィリスの式
nc = 0 のとき、太陽歯車はアイドラとして働く遊星歯車を介してリングを駆動します。
nr = −ns·Ns/Nr = −1440·24/60 = −576 rpm
|nr| = 576 rpm
答え
nr = 576 rpm
リングは太陽歯車と逆向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: φ = 7.47 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(80000·38350) = 0.1304 rad
φ = 0.1304·180/π = 7.47°
答え
φ = 7.47°
4.軸のねじり
答え: do = 24.56 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m
許容応力からの外径
T = 159.2 N·m = 159155 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·80·0.6836)) = 24.56 mm
di = 0.75·24.56 = 18.42 mm
答え
do = 24.56 mm
中実軸なら d = 21.64 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 36.4 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((40 − 110)/2)² + −10²) = 36.4 MPa
答え
τmax = 36.4 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 36.07 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 20000/(π·50²/4) = 20000/1963 = 10.19 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30.56 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 5.093 MPa
R = √(5.093² + 30.56²) = 30.98 MPa
σ1 = C + R = 36.07 MPa
σ2 = C − R = −25.89 MPa
答え
σ1 = 36.07 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.2079 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·5890 = 7.697 × 10⁸ N
縮み
δ = 200000·800/7.697 × 10⁸ = 0.2079 mm
答え
δ = 0.2079 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.916 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 244.5 MPa
σ2 = 1061 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 244.5·500/200000 = 0.6112 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 1061·1000/200000 = 5.305 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.916 mm
答え
δ = 5.916 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 17.58 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1250² = 17581 N = 17.58 kN
答え
Pcr = 17.58 kN
10.柱の座屈
答え: d = 64.73 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 64.73 mm
答え
d = 64.73 mm
確認：細長比 KL/r は 129.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.09894
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/5)·ln(25/1.1) = 0.6247
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6247/√(39.48 + 0.3903) = 0.09894
答え
ζ = 0.09894
12.機械振動
答え: keq = 9.231 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/40 + 1/12 → keq = 40·12/(40 + 12) = 9.231 kN/m
答え
keq = 9.231 kN/m
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