機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車
n1·N1 = n2·N2
トルク
T2 = T1·(N2/N1)·η
電力
P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列
全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
静たわみから
ωn = √(g/δst)
臨界減衰
cc = 2√(km) = 2mωn
減衰比
ζ = c/cc
減衰固有振動数
ωd = ωn√(1 − ζ²)
対数減衰率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね
k = k1 + k2
直列ばね
1/k = 1/k1 + 1/k2

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう
N1​ = 18, m = 4 mm

2900 rpm で回転する 1.1 kW のモータが、歯数 18、モジュール 4 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。

P = 1.1 kWn = 2900 rpmN1 = 18m = 4 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
A = 30B = 40C = 24D = ?

複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 30）が 3000 rpm で回転し、歯車 B（歯数 40）を駆動する。歯車 C（歯数 24）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 1080 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。

nin = 3000 rpmA = 30B = 40C = 24nout = 1080 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
T = 250 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 250 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 300 rpm で 15 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 15 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −40σy​ = −40MPaτxy​ = ?

ある点で σₓ = −40 MPa、σᵧ = −40 MPa である。最大主応力が −5 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。

σx = −40 MPaσy = −40 MPaσ1 = −5 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −30σy​ = 40τxy​ = 10MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −30 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 50° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = −30 MPaσy = 40 MPaτxy = 10 MPaθ = 50°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
Ø 20 mm鋼1 mP = 95 kN

鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 95 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø25100 GPaØ100/50500 mm

鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 m40 × 100 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 15 kNL = 1 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 15 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 15 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
k = 8 kN/mc = 180 N·s/mm = 25 kg

25 kg の質量が、ばね定数 8 kN/m のばねと、減衰係数 180 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。

m = 25 kgk = 8 kN/mc = 180 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
k1​ = 40k2​ = 40m = 40 kg

40 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 40 kN/m、k₂ = 40 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。

m = 40 kgk1 = 40 kN/mk2 = 40 kN/m
keq = kN/m

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: Ft = 100.6 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

ピニオンのトルク

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 1100/303.7 = 3.622 N·m

ピッチ円直径

d = m·N = 4·18 = 72 mm

接線力

Ft = 2T/d = 2·3.622/0.072 = 100.6 N

答え

Ft = 100.6 N
2.歯車と歯車列

答え: ND = 50

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

中間軸の回転速度

nB = nC = 3000·30/40 = 2250 rpm

歯車 D の歯数

ND = C·nC/nout = 24·2250/1080 = 50

答え

ND = 50
3.軸のねじり

答え: φ = 0.7124 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(80000·251327) = 0.01243 rad
φ = 0.01243·180/π = 0.7124°

答え

φ = 0.7124°
4.軸のねじり

答え: d = 36.5 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·50)) = 36.5 mm

答え

d = 36.5 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τxy = 35 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

必要な半径

C = (−40 + (−40))/2 = −40 MPa
R = σ1 − C = −5 − (−40) = 35 MPa
στxyCσ1​σ2​

せん断応力

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 0²) = 35 MPa

答え

τxy = 35 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τθ = 32.73 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

τθ = −−35·0.9848 + 10·−0.1736 = 32.73 MPa

答え

τθ = 32.73 MPa
7.軸応力とひずみ

答え: ε = 1512 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 95·1000/314.2 = 302.4 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 302.4/200000 = 0.001512 = 1512 µε

答え

ε = 1512 µε
8.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 412.3 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·5890 = 6.872 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0006, 0.0006) = 0.0006 (黄銅)

最大荷重

Pmax = 0.0006·6.872 × 10⁸ = 412334 N = 412.3 kN

答え

Pmax = 412.3 kN
9.柱の座屈

答え: Pcr = 467.9 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1500² = 467892 N = 467.9 kN

答え

Pcr = 467.9 kN
10.柱の座屈

答え: d = 43.37 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 43.37 mm

答え

d = 43.37 mm

確認：細長比 KL/r は 184.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.機械振動

答え: ζ = 0.2012

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

臨界減衰

cc = 2·√(k·m) = 2·√(8000·25) = 894.4 N·s/m

減衰比

ζ = c/cc = 180/894.4 = 0.2012

答え

ζ = 0.2012

ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。

12.機械振動

答え: keq = 80 kN/m

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

等価ばね定数

並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。

keq = 40 + 40 = 80 kN/m

答え

keq = 80 kN/m

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