歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 150 mm のプーリが 2880 rpm で回り、滑り 1 % のベルトで直径 450 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 2880 rpmd1 = 150 mmd2 = 450 mms = 1 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1450 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 45）が歯車 B（歯数 50）を駆動する。歯車 C（歯数 15）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 32）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1450 rpmA = 45B = 50C = 15D = 32
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 25 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 300 rpm で 10 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 300 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −20 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −20 MPaσy = 40 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 20° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 10 MPaσy = −80 MPaτxy = 60 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 200 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 200 kN棒: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 95 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 45 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 45 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 12 mm の 3 周期後に 2.6 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 12 mmx3 = 2.6 mmn = 3
ζ =
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 10 kN/m、下のばねは k₂ = 30 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 50 kgk1 = 10 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 950.4 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
2880·150/450 = 960 rpm
滑りあり
n2 = 960·0.99 = 950.4 rpm
答え
n2 = 950.4 rpm
2.歯車と歯車列
答え: nout = 611.7 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1450·45/50 = 1305 rpm = nC
第 2 段
nout = 1305·15/32 = 611.7 rpm
答え
nout = 611.7 rpm
全体の速比 = 2.37 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 7.662 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·38350) = 0.1337 rad
φ = 0.1337·180/π = 7.662°
答え
φ = 7.662°
4.軸のねじり
答え: d = 30.01 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30.01 mm
答え
d = 30.01 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = 76.72 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −60/67.08 = −0.8944, sin 2θs = −(−30)/67.08 = 0.4472
2θs = atan2(30, −60) = 153.4°
要素上の角度
θs = 76.72°
確認: θs − θp = 76.72 − (−58.28) = 135°
答え
θs = 76.72°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −39.1 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −35 + 45·0.766 + 60·−0.6428 = −39.1 MPa
答え
σθ = −39.1 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.06015 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9.975 × 10⁸ N
縮み
δ = 200000·300/9.975 × 10⁸ = 0.06015 mm
答え
δ = 0.06015 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 15.62 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 98.74 MPa
σ2 = 472.5 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 98.74·1500/70000 = 2.116 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 472.5·2000/70000 = 13.5 mm
δ = δ1 + δ2 = 15.62 mm
答え
δ = 15.62 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 10.36 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/3000² = 10363 N = 10.36 kN
答え
Pcr = 10.36 kN
10.柱の座屈
答え: d = 47.71 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·45000 = 112500 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 47.71 mm
答え
d = 47.71 mm
確認：細長比 KL/r は 104.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.08087
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/3)·ln(12/2.6) = 0.5098
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5098/√(39.48 + 0.2599) = 0.08087
答え
ζ = 0.08087
12.機械振動
答え: keq = 7.5 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/10 + 1/30 → keq = 10·30/(10 + 30) = 7.5 kN/m
答え
keq = 7.5 kN/m
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