歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 90 mm である。これらをモジュール 1.5 mm、減速比 4 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 ピニオンの歯数 N1 はいくつ必要か。
a = 90 mmm = 1.5 mmi = 4
N1 =
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、200 rpm の直径 1500 mm の駆動プーリと直径 500 mm のプーリをつなぎ、中心は 800 mm 離れています。摩擦係数は 0.25 で、張り側の張力は 1000 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 200 mmn1 = 1500 rpmd2 = 500 mmC = 800 mmμ = 0.25T1 = 1000 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
長さ 0.5 m の黄銅製の中実軸がトルク 200 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 3° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 200 N·mL = 0.5 mG = 39 GPaφallow = 3°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 40 mm のアルミニウム製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.5 m、B から 0.5 m の C にトルク 500 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 40 mmT0 = 500 N·ma = 1.5 mb = 0.5 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 130 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 130 MPaσy = 20 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 25 mm の中実軸が軸圧縮力 70 kNとトルク 1000 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 25 mmF = −70 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 25 kNd = 10 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、アルミニウム でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
40 kg の質量が、ばね定数 12 kN/m のばねと、減衰係数 550 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 40 kgk = 12 kN/mc = 550 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量がばね k₃ = 20 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 30 kN/m と k₂ = 50 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 30 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N1 = 24
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·90/1.5 = 120
比で分ける
N1 = 120/(1 + 4) = 24
答え
N1 = 24
2.歯車と歯車列
答え: P = 7.838 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.764 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.6911 = 1.996, T₂ = 1000/1.996 = 501 N
電力
P = (1000 − 501)·15.71 = 7.838 kW
答え
P = 7.838 kW
3.軸のねじり
答え: d = 26.58 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 3·π/180 = 0.05236 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·500/(39000·0.05236) = 48971 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 26.58 mm
答え
d = 26.58 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: τmax = 29.84 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·0.5/2 = 125 N·m
TB = 500·1.5/2 = 375 N·m
最大せん断応力
2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。
τmax = 16·375000/(π·40³) = 29.84 MPa
答え
τmax = 29.84 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 81.39 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((130 − 20)/2)² + −60²) = 81.39 MPa
答え
τmax = 81.39 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 262.4 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −70000/(π·25²/4) = −70000/490.9 = −142.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·25³) = 325.9 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −71.3 MPa
R = √((−71.3)² + 325.9²) = 333.7 MPa
σ1 = C + R = 262.4 MPa
σ2 = C − R = −405 MPa
答え
σ1 = 262.4 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.441 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 25·1000/78.54 = 318.3 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 318.3/117000 = 0.002721 = 2721 µε
伸び
δ = ε·L = 0.002721·2000 mm = 5.441 mm
答え
δ = 5.441 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 166.3 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·3063 = 2.772 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.0006, 0.0008571) = 0.0006 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.0006·2.772 × 10⁸ = 166347 N = 166.3 kN
答え
Pmax = 166.3 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 4.205 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·6000 = 12000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/12000² = 4205 N = 4.205 kN
答え
Pcr = 4.205 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 3.084 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/7.5 = 800
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3.084 MPa
答え
σcr = 3.084 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.3969
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(12000·40) = 1386 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 550/1386 = 0.3969
答え
ζ = 0.3969
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 3.183 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 30 + 50 = 80 kN/m
keq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m
固有振動数
ωn = √(16000/40) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3.183 Hz
答え
fn = 3.183 Hz
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