機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

ベルトが、直径 160 mm の駆動プーリ上を 960 rpm で走っています。張力は張り側で 600 N、緩み側で 300 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。

d₁ = 160 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 600 NT₂ = 300 N

P = kW

2.歯車と歯車列むずかしい

平行掛けのベルトが、150 rpm の直径 960 mm の駆動プーリと直径 250 mm のプーリをつなぎ、中心は 1200 mm 離れています。摩擦係数は 0.25 で、張り側の張力は 500 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。

d₁ = 150 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 250 mmC = 1200 mmμ = 0.25T₁ = 500 N

P = kW

3.軸のねじりふつう

鋼製の中空軸（外径 30 mm、内径 21 mm、長さ 1 m）が一端で固定され、他端でトルク 2000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 2000 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

中実軸が 1800 rpm で 5 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 5 kWN = 1800 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −40 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = −40 MPa、σ_z = 0。その点での絶対最大せん断応力 τ_abs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σ_x = −40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −40 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（σ_z = 0）。ミーゼス相当応力 σ_vM を求めよ。

σ_x = −40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

7.軸応力とひずみふつう

鋼の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウムでできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 600 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。縮み δ を求めなさい。

P = 300 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.軸応力とひずみむずかしい

鋼の区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、黄銅でできた区間（直径 30 mm、長さ 300 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 60 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ₂ を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 140 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 140 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)

d = mm

11.機械振動ふつう

減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 40 mm の 1 周期後に 29.2 mm のピークが現れた。減衰比 ζ を求めよ。

x₀ = 40 mmx₁ = 29.2 mmn = 1

ζ =

12.機械振動むずかしい

10 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 12 kN/m、k₂ = 30 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 f_n を Hz で求めよ。

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: P = 2.413 kW

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = e^μθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

ベルトの速さ

v = 8.042 m/s

電力

P = (600 − 300)·8.042 = 2413 W = 2.413 kW

答え

P = 2.413 kW

2.歯車と歯車列

答え: P = 2.015 kW

巻き付け角

θ = 3.058 rad

緩み側の張力

e^μθ = e^0.7646 = 2.148, T₂ = 500/2.148 = 232.8 N

電力

P = (500 − 232.8)·7.54 = 2.015 kW

答え

P = 2.015 kW

3.軸のねじり

答え: φ = 23.7 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

ねじれ角

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1000/(80000·60428) = 0.4137 rad

φ = 0.4137·180/π = 23.7°

答え

φ = 23.7°

4.軸のねじり

答え: d = 13.11 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 5000/188.5 = 26.53 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·26526/(π·60)) = 13.11 mm

答え

d = 13.11 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_abs = 45.62 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σ_max − σ_min)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

面内の主応力

C = −50 MPa, R = √(10² + (−40)²) = 41.23 MPa

σ₁ = −8.769 MPa, σ₂ = −91.23 MPa, σ_z = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(82.46, 8.769, 91.23)/2 = 45.62 MPa

答え

τ_abs = 45.62 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ_vM = 105.8 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σ_Y に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σ_Y/2 に達したときに降伏すると予測します。

主応力

C = −55 MPa, R = 52.2 MPa

σ₁ = −2.798 MPa, σ₂ = −107.2 MPa, σ₃ = 0

ミーゼス

σ_vM = √((−2.798)² − (−2.798)·(−107.2) + (−107.2)²) = 105.8 MPa

答え

σ_vM = 105.8 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.3526 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·5890 = 5.105 × 10⁸ N

縮み

δ = 300000·600/5.105 × 10⁸ = 0.3526 mm

答え

δ = 0.3526 mm

8.軸応力とひずみ

答え: σ₂ = 27.09 MPa

剛性

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·706.9/300 = 235619 N/mm

区間 2 の分担

F₂ = 60000·235619/738274 = 19149 N

応力

σ₂ = 19149/706.9 = 27.09 MPa （圧縮）

答え

σ₂ = 27.09 MPa

9.柱の座屈

答え: P_cr = 37.85 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1000 = 1000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37.85 kN

答え

P_cr = 37.85 kN

10.柱の座屈

答え: d = 116.2 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2.5·140000 = 350000 N

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 116.2 mm

答え

d = 116.2 mm

確認：細長比 KL/r は 144.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.機械振動

答え: ζ = 0.05003

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

対数減衰率

δ = (1/1)·ln(40/29.2) = 0.3147

減衰比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3147/√(39.48 + 0.09904) = 0.05003

答え

ζ = 0.05003

12.機械振動

答え: f_n = 10.31 Hz

等価ばね定数

並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k₁ + k₂。

k_eq = 12 + 30 = 42 kN/m

固有振動数

ω_n = √(42000/10) = 64.81 rad/s

f_n = 64.81/(2π) = 10.31 Hz

答え

f_n = 10.31 Hz

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