歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 150 mm の駆動プーリ上を 1500 rpm で走っています。張力は張り側で 500 N、緩み側で 100 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 150 mmn1 = 1500 rpmT1 = 500 NT2 = 100 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、120 rpm の直径 1500 mm の駆動プーリと直径 200 mm のプーリをつなぎ、中心は 1000 mm 離れています。摩擦係数は 0.3 で、張り側の張力は 1000 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 120 mmn1 = 1500 rpmd2 = 200 mmC = 1000 mmμ = 0.3T1 = 1000 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 500 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1800 rpm で 30 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 30 kWN = 1800 rpmdo = 50 mmdi = 38 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 60 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −20 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 60 MPaσy = 120 MPaτxy = −20 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 400 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 0.8 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 25° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 400 mmt = 5 mmp = 0.8 MPaα = 25°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 150 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 150 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 5 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 5 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
20 kg の質量が、ばね定数 2 kN/m のばねと、減衰係数 60 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 20 kgk = 2 kN/mc = 60 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量がばね k₃ = 30 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 60 kN/m と k₂ = 5 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 100 kgk1 = 60 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 4.712 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 11.78 m/s
電力
P = (500 − 100)·11.78 = 4712 W = 4.712 kW
答え
P = 4.712 kW
2.歯車と歯車列
答え: P = 5.663 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 3.062 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.9185 = 2.505, T₂ = 1000/2.505 = 399.1 N
電力
P = (1000 − 399.1)·9.425 = 5.663 kW
答え
P = 5.663 kW
3.軸のねじり
答え: φ = 20.78 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(26000·79522) = 0.3627 rad
φ = 0.3627·180/π = 20.78°
答え
φ = 20.78°
4.軸のねじり
答え: τmax = 9.731 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 30000/188.5 = 159.2 N·m
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 159155·25/408885 = 9.731 MPa
答え
τmax = 9.731 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 63.03 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 90 MPa, R = √((−30)² + (−20)²) = 36.06 MPa
σ1 = 126.1 MPa, σ2 = 53.94 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(72.11, 126.1, 53.94)/2 = 63.03 MPa
答え
τabs = 63.03 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 29.14 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 0.8·200/5 = 32 MPa
σa = pr/(2t) = 16 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 16·sin²25° + 32·cos²25° = 29.14 MPa
答え
σn = 29.14 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1886 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·2199 = 3.181 × 10⁸ N
縮み
δ = 150000·400/3.181 × 10⁸ = 0.1886 mm
答え
δ = 0.1886 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 23.66 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 50000·691150/1.162 × 10⁶ = 29730 N
応力
σ2 = 29730/1257 = 23.66 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 23.66 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 6.909 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/3000² = 6909 N = 6.909 kN
答え
Pcr = 6.909 kN
10.柱の座屈
答え: d = 34.85 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·5000 = 12500 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 34.85 mm
答え
d = 34.85 mm
確認：細長比 KL/r は 229.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.15
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(2000·20) = 400 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 60/400 = 0.15
答え
ζ = 0.15
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 2.28 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 60 + 5 = 65 kN/m
keq = 65·30/(65 + 30) = 20.53 kN/m
固有振動数
ωn = √(20526/100) = 14.33 rad/s
fn = 14.33/(2π) = 2.28 Hz
答え
fn = 2.28 Hz
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