歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
条数 2 のウォームが 960 rpm で回転し、歯数 72 のウォームホイールを駆動する。ホイールの回転速度 nw を求めよ。
z = 2Nw = 72n = 960 rpm
nw = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、3000 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 15）が歯車 B（歯数 45）を駆動する。歯車 C（歯数 16）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 36）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 3000 rpmA = 15B = 45C = 16D = 36
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 500 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 1 m の B にトルク 1000 N·m が作用し、さらに 2.5 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 1500 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 50 mmTB = 1000 N·mTC = 1500 N·mAB = 1 mBC = 2.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −40 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 50°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −40 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 150 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 275 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 150 MPaσy = 110 MPaτxy = 40 MPaσY = 275 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 55 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 70 kN区間 1：Ø25 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø20 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 60 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 60 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 1 kN/m のばねにつながれた 2 kg の質量に、減衰比 0.45 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 2 kgk = 1 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 10 kN/m、下のばねは k₂ = 80 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 10 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: nw = 26.67 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 960·2/72 = 26.67 rpm
答え
nw = 26.67 rpm
2.歯車と歯車列
答え: nout = 444.4 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 3000·15/45 = 1000 rpm = nC
第 2 段
nout = 1000·16/36 = 444.4 rpm
答え
nout = 444.4 rpm
全体の速比 = 6.75 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 4.669 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(80000·38350) = 0.08149 rad
φ = 0.08149·180/π = 4.669°
答え
φ = 4.669°
4.軸のねじり
答え: φC = 7.295 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC + TB = 1500 + 1000 = 2500 N·m
各区間のねじれ角
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 2.5 × 10⁶·1000/(80000·613592) = 0.05093 rad
φBC = 1.5 × 10⁶·2500/(80000·613592) = 0.07639 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.05093 + 0.07639 = 0.1273 rad → |φC| = 7.295°
答え
φC = 7.295°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = −36.49 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 0 − (−40)·(−0.1736) − 30·0.9848 = −36.49 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 36.49 MPa, σx′ + σy′ = 0 = σx + σy
答え
σy′ = −36.49 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 1.817
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 130 MPa, R = 44.72 MPa
σ1 = 174.7 MPa, σ2 = 85.28 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(174.7² − 174.7·85.28 + 85.28²) = 151.3 MPa
n = 275/151.3 = 1.817
答え
n = 1.817
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 875.4 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 55·1000/314.2 = 175.1 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 175.1/200000 = 0.0008754 = 875.4 µε
答え
ε = 875.4 µε
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 4.685 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 142.6 MPa
σ2 = 222.8 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 142.6·1500/117000 = 1.828 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 222.8·1500/117000 = 2.857 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.685 mm
答え
δ = 4.685 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 135.7 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1250² = 135652 N = 135.7 kN
答え
Pcr = 135.7 kN
10.柱の座屈
答え: d = 74.59 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·60000 = 120000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 74.59 mm
答え
d = 74.59 mm
確認：細長比 KL/r は 268.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 3.178 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(1000/2) = 22.36 rad/s
fn = 22.36/(2π) = 3.559 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.45²) = 3.178 Hz
答え
fd = 3.178 Hz
12.機械振動
答え: fn = 3.355 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/10 + 1/80 → keq = 10·80/(10 + 80) = 8.889 kN/m
固有振動数
ωn = √(8889/20) = 21.08 rad/s
fn = 21.08/(2π) = 3.355 Hz
答え
fn = 3.355 Hz
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