歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 160 mm の駆動プーリ上を 1440 rpm で走っています。張力は張り側で 1000 N、緩み側で 300 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 160 mmn1 = 1440 rpmT1 = 1000 NT2 = 300 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1450 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 48）が歯車 B（歯数 50）を駆動する。歯車 C（歯数 25）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 72）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1450 rpmA = 48B = 50C = 25D = 72
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 750 rpm で 10 kW を伝達する。せん断応力は 60 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.5° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0.5°/mG = 39 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 80 MPaσy = 20 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 20° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 10 MPaσy = 0 MPaτxy = −60 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 50 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 300 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 30 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 10 kN/m のばねにつながれた 10 kg の質量に、減衰比 0.6 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 10 kgk = 10 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 12 kN/m、下のばねは k₂ = 12 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 8.445 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 12.06 m/s
電力
P = (1000 − 300)·12.06 = 8445 W = 8.445 kW
答え
P = 8.445 kW
2.歯車と歯車列
答え: nout = 483.3 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1450·48/50 = 1392 rpm = nC
第 2 段
nout = 1392·25/72 = 483.3 rpm
答え
nout = 483.3 rpm
全体の速比 = 3 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 1.754 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·251327) = 0.03061 rad
φ = 0.03061·180/π = 1.754°
答え
φ = 1.754°
4.軸のねじり
答え: d = 44.18 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m
強度から決まる直径
T = 127.3 N·m = 127324 N·mm
dτ = ∛(16·127324/(π·60)) = 22.11 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·127324/(π·39000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 44.18 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(22.11, 44.18) = 44.18 mm
答え
d = 44.18 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 31.62 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((80 − 20)/2)² + 10²) = 31.62 MPa
答え
τmax = 31.62 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 47.4 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 5 + 5·0.766 + −60·−0.6428 = 47.4 MPa
答え
σθ = 47.4 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.6801 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 50·1000/314.2 = 159.2 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 159.2/117000 = 0.00136 = 1360 µε
伸び
δ = ε·L = 0.00136·500 mm = 0.6801 mm
答え
δ = 0.6801 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 8.229 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 120000·2827/300 = 1.131 × 10⁶ N/mm
区間 2 の分担
F2 = 30000·1.131 × 10⁶/1.458 × 10⁶ = 23268 N
応力
σ2 = 23268/2827 = 8.229 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 8.229 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 5.737 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2800² = 5737 N = 5.737 kN
答え
Pcr = 5.737 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 179 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/20 = 105
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa
答え
σcr = 179 MPa
11.機械振動
答え: fd = 4.026 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(10000/10) = 31.62 rad/s
fn = 31.62/(2π) = 5.033 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.6²) = 4.026 Hz
答え
fd = 4.026 Hz
12.機械振動
答え: fn = 1.949 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/12 + 1/12 → keq = 12·12/(12 + 12) = 6 kN/m
固有振動数
ωn = √(6000/40) = 12.25 rad/s
fn = 12.25/(2π) = 1.949 Hz
答え
fn = 1.949 Hz
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