歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 15 kW のモータが、歯数 16、モジュール 4 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 15 kWn = 1450 rpmN1 = 16m = 4 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 20）が 2880 rpm で回転し、歯車 B（歯数 24）を駆動する。歯車 C（歯数 18）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 720 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 2880 rpmA = 20B = 24C = 18nout = 720 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 3000 rpm で 20 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 3000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 70 MPaσy = 0 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 1500 mm、肉厚 10 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 35° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 1500 mmt = 10 mmp = 2 MPaα = 35°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 120 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 80 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 80 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、銅 でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 120 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 25 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 25 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
40 kg の質量が、ばね定数 150 kN/m のばねと、減衰係数 490 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 40 kgk = 150 kN/mc = 490 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 20 kN/m、下のばねは k₂ = 30 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 10 kgk1 = 20 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 3087 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
ピニオンのトルク
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 4·16 = 64 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·98.79/0.064 = 3087 N
答え
Ft = 3087 N
2.歯車と歯車列
答え: ND = 60
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中間軸の回転速度
nB = nC = 2880·20/24 = 2400 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 18·2400/720 = 60
答え
ND = 60
3.軸のねじり
答え: φ = 4.676 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(39000·251327) = 0.08162 rad
φ = 0.08162·180/π = 4.676°
答え
φ = 4.676°
4.軸のねじり
答え: d = 20.09 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 20000/314.2 = 63.66 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·40)) = 20.09 mm
答え
d = 20.09 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 36.4 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((70 − 0)/2)² + −10²) = 36.4 MPa
答え
τmax = 36.4 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 125.3 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 2·750/10 = 150 MPa
σa = pr/(2t) = 75 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 75·sin²35° + 150·cos²35° = 125.3 MPa
答え
σn = 125.3 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.06431 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·4006 = 6.22 × 10⁸ N
縮み
δ = 80000·500/6.22 × 10⁸ = 0.06431 mm
答え
δ = 0.06431 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 829.4 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·7461 = 1.037 × 10⁹ N
支配するひずみ
ε = min(0.0008, 0.0008333) = 0.0008 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.0008·1.037 × 10⁹ = 829380 N = 829.4 kN
答え
Pmax = 829.4 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 15.04 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/3500² = 15039 N = 15.04 kN
答え
Pcr = 15.04 kN
10.柱の座屈
答え: d = 43.12 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 43.12 mm
答え
d = 43.12 mm
確認：細長比 KL/r は 116 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·40) = 4899 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 490/4899 = 0.1
答え
ζ = 0.1
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 5.513 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/20 + 1/30 → keq = 20·30/(20 + 30) = 12 kN/m
固有振動数
ωn = √(12000/10) = 34.64 rad/s
fn = 34.64/(2π) = 5.513 Hz
答え
fn = 5.513 Hz
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