歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
960 rpm で回転する 7.5 kW のモータが歯数 24 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 30 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 98% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 7.5 kWn1 = 960 rpmN1 = 24N2 = 30η = 98%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
1450 rpm の 7.5 kW のモータが歯車 A（歯数 24）を駆動し、A は歯車 B（歯数 48）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 12）が出力軸の歯車 D（歯数 72）を駆動する。各かみ合いの効率は 95% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 7.5 kWnin = 1450 rpmA = 24B = 48C = 12D = 72ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 300 rpm で 5 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 70 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 70 MPaσy = 0 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 150 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 150 MPaσy = 10 MPaτxy = 60 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 55 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 60 mm、長さ 200 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
80 kg の質量が、ばね定数 40 kN/m のばねと、減衰係数 1430 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 80 kgk = 40 kN/mc = 1430 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 5 kN/m、k₂ = 15 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 10 kgk1 = 5 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 74.6 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/100.5 = 74.6 N·m
答え
T1 = 74.6 N·m
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 534.9 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 1450·(24/48)·(12/72) = 120.8 rpm
ωout = 2π·120.8/60 = 12.65 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 7500·0.95² = 6769 W
Tout = Pout/ωout = 6769/12.65 = 534.9 N·m
答え
Tout = 534.9 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 18.24 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·15708) = 0.3183 rad
φ = 0.3183·180/π = 18.24°
答え
φ = 18.24°
4.軸のねじり
答え: d = 42.21 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m
強度から決まる直径
T = 159.2 N·m = 159155 N·mm
dτ = ∛(16·159155/(π·75)) = 22.11 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·159155/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 42.21 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(22.11, 42.21) = 42.21 mm
答え
d = 42.21 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −24.7 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = 30/46.1 = 0.6508, sin 2θs = −35/46.1 = −0.7593
2θs = atan2(−35, 30) = −49.4°
要素上の角度
θs = −24.7°
確認: θs − θp = −24.7 − 20.3 = −45°
答え
θs = −24.7°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 151.2 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 80 + 70·0.1736 + 60·0.9848 = 151.2 MPa
答え
σθ = 151.2 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.419 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 55·1000/201.1 = 273.5 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 273.5/200000 = 0.001368 = 1368 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001368·2500 mm = 3.419 mm
答え
δ = 3.419 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 29.19 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 70000·2827/200 = 989602 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 100000·989602/1.199 × 10⁶ = 82533 N
応力
σ2 = 82533/2827 = 29.19 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 29.19 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 27.56 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN
答え
Pcr = 27.56 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 17.27 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
答え
σcr = 17.27 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.3997
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·80) = 3578 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 1430/3578 = 0.3997
答え
ζ = 0.3997
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 7.118 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 5 + 15 = 20 kN/m
固有振動数
ωn = √(20000/10) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
答え
fn = 7.118 Hz
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