歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 100 mm のプーリが 2880 rpm で回り、滑り 3 % のベルトで直径 450 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 2880 rpmd1 = 100 mmd2 = 450 mms = 3 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1450 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 36）が歯車 B（歯数 45）を駆動する。歯車 C（歯数 16）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 20）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1450 rpmA = 36B = 45C = 16D = 20
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 20 mm の中実試験片をトルク 75 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 1.75° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 75 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 1.75°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 2 m、B から 0.8 m の C にトルク 100 N·m が作用する。 断面 C の回転角 φC を度で求めよ。
d = 30 mmT0 = 100 N·ma = 2 mb = 0.8 mG = 39 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 80 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 80 MPaσy = −60 MPaτxy = −50 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 160 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 25° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 160 MPaσy = 10 MPaτxy = −10 MPaθ = 25°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 250 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 250 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 20 kN区間 1：Ø25 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 10 mm の 2 周期後に 2.8 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 10 mmx2 = 2.8 mmn = 2
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量がばね k₃ = 12 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 100 kN/m と k₂ = 30 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 100 kN/mk2 = 30 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 620.8 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
2880·100/450 = 640 rpm
滑りあり
n2 = 640·0.97 = 620.8 rpm
答え
n2 = 620.8 rpm
2.歯車と歯車列
答え: nout = 928 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1450·36/45 = 1160 rpm = nC
第 2 段
nout = 1160·16/20 = 928 rpm
答え
nout = 928 rpm
全体の速比 = 1.563 : 1
3.軸のねじり
答え: G = 39.08 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.75·π/180 = 0.03054 rad
横弾性係数
T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·250/(15708·0.03054) = 39081 MPa
G = 39.08 GPa
答え
G = 39.08 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: φC = 1.056 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·0.8/2.8 = 28.57 N·m
TB = 100·2/2.8 = 71.43 N·m
C の回転角
区間 AC を使います：A で固定され、TA を受けます。
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 28571·2000/(39000·79522) = 0.01843 rad = 1.056°
答え
φC = 1.056°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −62.77 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −50/86.02 = −0.5812, sin 2θs = −70/86.02 = −0.8137
2θs = atan2(−70, −50) = −125.5°
要素上の角度
θs = −62.77°
確認: θs − θp = −62.77 − (−17.77) = −45°
答え
θs = −62.77°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −63.88 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −75·0.766 + −10·0.6428 = −63.88 MPa
答え
τθ = −63.88 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.2609 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·2199 = 3.833 × 10⁸ N
縮み
δ = 250000·400/3.833 × 10⁸ = 0.2609 mm
答え
δ = 0.2609 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.256 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 40.74 MPa
σ2 = 176.8 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 40.74·1000/200000 = 0.2037 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 176.8·2000/70000 = 5.053 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.256 mm
答え
δ = 5.256 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 4.998 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4.998 kN
答え
Pcr = 4.998 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 21.93 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa
答え
σcr = 21.93 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.1008
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/2)·ln(10/2.8) = 0.6365
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6365/√(39.48 + 0.4051) = 0.1008
答え
ζ = 0.1008
12.機械振動
答え: fn = 7.46 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 100 + 30 = 130 kN/m
keq = 130·12/(130 + 12) = 10.99 kN/m
固有振動数
ωn = √(10986/5) = 46.87 rad/s
fn = 46.87/(2π) = 7.46 Hz
答え
fn = 7.46 Hz
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