歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 300 mm である。これらをモジュール 4 mm、減速比 4 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 歯車の歯数 N2 はいくつ必要か。
a = 300 mmm = 4 mmi = 4
N2 =
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、120 rpm の直径 1500 mm の駆動プーリと直径 500 mm のプーリをつなぎ、中心は 1200 mm 離れています。摩擦係数は 0.35 で、張り側の張力は 2000 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 120 mmn1 = 1500 rpmd2 = 500 mmC = 1200 mmμ = 0.35T1 = 2000 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 750 rpm で 20 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.8 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 20 kWN = 750 rpmdi/do = 0.8τallow = 80 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −50 MPaσy = 80 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −80 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 35° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −80 MPaσy = −70 MPaτxy = 60 MPaθ = 35°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 50 kN/m のばねにつながれた 150 kg の質量に、減衰比 0.4 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 150 kgk = 50 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量がばね k₃ = 25 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 5 kN/m と k₂ = 25 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 100 kgk1 = 5 kN/mk2 = 25 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N2 = 120
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·300/4 = 150
比で分ける
N1 = 150/(1 + 4) = 30
N2 = 4·30 = 120
答え
N2 = 120
2.歯車と歯車列
答え: P = 11.83 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.824 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.9883 = 2.687, T₂ = 2000/2.687 = 744.5 N
電力
P = (2000 − 744.5)·9.425 = 11.83 kW
答え
P = 11.83 kW
3.軸のねじり
答え: φ = 3.735 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(80000·38350) = 0.06519 rad
φ = 0.06519·180/π = 3.735°
答え
φ = 3.735°
4.軸のねじり
答え: do = 30.17 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 20000/78.54 = 254.6 N·m
許容応力からの外径
T = 254.6 N·m = 254648 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·254648/(π·80·0.5904)) = 30.17 mm
di = 0.8·30.17 = 24.14 mm
答え
do = 30.17 mm
中実軸なら d = 25.31 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 65.76 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−50 − 80)/2)² + −10²) = 65.76 MPa
答え
τmax = 65.76 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 25.22 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −−5·0.9397 + 60·0.342 = 25.22 MPa
答え
τθ = 25.22 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 15.58 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706.9) = 8.084 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.25/1.604 × 10⁻⁵ = 15584 N = 15.58 kN
答え
P = 15.58 kN
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 247.3 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·2199 = 3.401 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0007273) = 0.0007273 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0007273·3.401 × 10⁸ = 247329 N = 247.3 kN
答え
Pmax = 247.3 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 3.052 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3.052 kN
答え
Pcr = 3.052 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 4.318 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/12.5 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
答え
σcr = 4.318 MPa
11.機械振動
答え: fd = 2.663 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(50000/150) = 18.26 rad/s
fn = 18.26/(2π) = 2.906 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.906·√(1 − 0.4²) = 2.663 Hz
答え
fd = 2.663 Hz
12.機械振動
答え: fn = 1.859 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 5 + 25 = 30 kN/m
keq = 30·25/(30 + 25) = 13.64 kN/m
固有振動数
ωn = √(13636/100) = 11.68 rad/s
fn = 11.68/(2π) = 1.859 Hz
答え
fn = 1.859 Hz
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