歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 187.5 mm である。これらをモジュール 2.5 mm、減速比 5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 ピニオンの歯数 N1 はいくつ必要か。
a = 187.5 mmm = 2.5 mmi = 5
N1 =
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 125 mm のプーリと直径 300 mm のプーリをつなぎ、その中心は 1200 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 125 mmd2 = 300 mmC = 1200 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 500 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 75 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 500 N·mdi/do = 0.75τallow = 75 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 300 rpm で 30 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 30 kWN = 300 rpmdi/do = 0.5τallow = 40 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −20 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。要素を時計回りに 30°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −20 MPaσy = 100 MPaτxy = 50 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 60° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 0 MPaσy = −60 MPaτxy = −50 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 35 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 95 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 95 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 10 kN/m のばねにつながれた 15 kg の質量に、減衰比 0.7 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 15 kgk = 10 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 60 kN/m、下のばねは k₂ = 12 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 100 kgk1 = 60 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N1 = 25
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·187.5/2.5 = 150
比で分ける
N1 = 150/(1 + 5) = 25
答え
N1 = 25
2.歯車と歯車列
答え: θ = 171.6 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.07292) = 4.182°
巻き付け角
θ = 180 − 2·4.182 = 171.6°
答え
θ = 171.6°
3.軸のねじり
答え: do = 36.76 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·75·0.6836)) = 36.76 mm
di = 0.75·36.76 = 27.57 mm
答え
do = 36.76 mm
中実軸なら d = 32.38 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: do = 50.62 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m
許容応力からの外径
T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·40·0.9375)) = 50.62 mm
di = 0.5·50.62 = 25.31 mm
答え
do = 50.62 mm
中実軸なら d = 49.54 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 113.3 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 40 − (−60)·0.5 − 50·(−0.866) = 113.3 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −33.3 MPa, σx′ + σy′ = 80 = σx + σy
答え
σy′ = 113.3 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −88.3 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −30 + 30·−0.5 + −50·0.866 = −88.3 MPa
答え
σθ = −88.3 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 2487 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 35·1000/201.1 = 174.1 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 174.1/70000 = 0.002487 = 2487 µε
答え
ε = 2487 µε
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 7.066 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 134.4 MPa
σ2 = 472.5 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 134.4·1500/200000 = 1.008 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 472.5·1500/117000 = 6.058 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.066 mm
答え
δ = 7.066 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 248.1 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·2000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248.1 kN
答え
Pcr = 248.1 kN
10.柱の座屈
答え: d = 68.53 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 68.53 mm
答え
d = 68.53 mm
確認：細長比 KL/r は 175.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 2.935 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(10000/15) = 25.82 rad/s
fn = 25.82/(2π) = 4.109 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 4.109·√(1 − 0.7²) = 2.935 Hz
答え
fd = 2.935 Hz
12.機械振動
答え: fn = 1.592 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/60 + 1/12 → keq = 60·12/(60 + 12) = 10 kN/m
固有振動数
ωn = √(10000/100) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1.592 Hz
答え
fn = 1.592 Hz
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