歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 4 kW のモータが歯数 16 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 25 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 95% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 4 kWn1 = 1450 rpmN1 = 16N2 = 25η = 95%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 150 mm のプーリと直径 300 mm のプーリをつなぎ、その中心は 500 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 150 mmd2 = 300 mmC = 500 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中空軸（外径 75 mm、内径 45 mm、長さ 2.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 1000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·mdo = 75 mmdi = 45 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 40 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 2 m の B にトルク 250 N·m が作用し、さらに 2.5 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 1000 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 40 mmTB = 250 N·mTC = 1000 N·mAB = 2 mBC = 2.5 mG = 39 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −20 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。要素を時計回りに 30°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −20 MPaσy = −30 MPaτxy = 10 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 30 mm の中実軸が曲げモーメント 100 N·mとトルク 2000 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 30 mmM = 100 N·mT = 2000 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 300 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 120 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 120 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
25 kg の質量が、ばね定数 100 kN/m のばねと、減衰係数 250 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 25 kgk = 100 kN/mc = 250 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量がばね k₃ = 40 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 20 kN/m と k₂ = 10 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 25 kgk1 = 20 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 26.34 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/151.8 = 26.34 N·m
答え
T1 = 26.34 N·m
2.歯車と歯車列
答え: θ = 162.7 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.15) = 8.627°
巻き付け角
θ = 180 − 2·8.627 = 162.7°
答え
θ = 162.7°
3.軸のねじり
答え: φ = 1.358 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2.704 × 10⁶ mm⁴
ねじれ角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2500/(39000·2.704 × 10⁶) = 0.02371 rad
φ = 0.02371·180/π = 1.358°
答え
φ = 1.358°
4.軸のねじり
答え: φC = 23.38 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC − TB = 1000 − 250 = 750 N·m
各区間のねじれ角
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 750000·2000/(39000·251327) = 0.153 rad
φBC = 1 × 10⁶·2500/(39000·251327) = 0.2551 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.153 + 0.2551 = 0.4081 rad → |φC| = 23.38°
答え
φC = 23.38°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = −18.84 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −25 − 5·0.5 − 10·(−0.866) = −18.84 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −31.16 MPa, σx′ + σy′ = −50 = σx + σy
答え
σy′ = −18.84 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 396.6 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37.73 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377.3 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 18.86 MPa
R = √(18.86² + 377.3²) = 377.7 MPa
σ1 = C + R = 396.6 MPa
σ2 = C − R = −358.9 MPa
答え
σ1 = 396.6 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 65.89 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·2827) = 9.646 × 10⁻⁷ mm/N
荷重
P = 0.25/3.794 × 10⁻⁶ = 65894 N = 65.89 kN
答え
P = 65.89 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 24.1 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 50000·301593/497942 = 30284 N
応力
σ2 = 30284/1257 = 24.1 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 24.1 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 62.18 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1000² = 62179 N = 62.18 kN
答え
Pcr = 62.18 kN
10.柱の座屈
答え: d = 59.32 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·120000 = 300000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 59.32 mm
答え
d = 59.32 mm
確認：細長比 KL/r は 134.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.07906
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·25) = 3162 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 250/3162 = 0.07906
答え
ζ = 0.07906
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 4.168 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 20 + 10 = 30 kN/m
keq = 30·40/(30 + 40) = 17.14 kN/m
固有振動数
ωn = √(17143/25) = 26.19 rad/s
fn = 26.19/(2π) = 4.168 Hz
答え
fn = 4.168 Hz
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