歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 120 mm のプーリが 2880 rpm で回り、滑り 3 % のベルトで直径 315 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 2880 rpmd1 = 120 mmd2 = 315 mms = 3 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 80 mm のプーリと直径 300 mm のプーリをつなぎ、その中心は 1200 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 80 mmd2 = 300 mmC = 1200 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·md = 20 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 1000 rpm で 15 kW を伝達する。せん断応力は 60 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0.75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 80 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 80 MPaσy = −20 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 1200 mm、肉厚 12 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 60° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 1200 mmt = 12 mmp = 2 MPaα = 60°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 20 kNd = 10 mmL = 2 mE = 117 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 35 kN区間 1：Ø25 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 90 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 90 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 4 kN/m のばねにつながれた 20 kg の質量に、減衰比 0.6 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 20 kgk = 4 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 50 kN/m、k₂ = 20 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 5 kgk1 = 50 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 1064 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
2880·120/315 = 1097 rpm
滑りあり
n2 = 1097·0.97 = 1064 rpm
答え
n2 = 1064 rpm
2.歯車と歯車列
答え: θ = 169.5 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.09167) = 5.259°
巻き付け角
θ = 180 − 2·5.259 = 169.5°
答え
θ = 169.5°
3.軸のねじり
答え: φ = 6.839 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·15708) = 0.1194 rad
φ = 0.1194·180/π = 6.839°
答え
φ = 6.839°
4.軸のねじり
答え: d = 41.12 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
強度から決まる直径
T = 143.2 N·m = 143239 N·mm
dτ = ∛(16·143239/(π·60)) = 22.99 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·143239/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 41.12 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(22.99, 41.12) = 41.12 mm
答え
d = 41.12 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 50.99 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 30 MPa, R = √(50² + 10²) = 50.99 MPa
σ1 = 80.99 MPa, σ2 = −20.99 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(102, 80.99, 20.99)/2 = 50.99 MPa
答え
τabs = 50.99 MPa
ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 62.5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 2·600/12 = 100 MPa
σa = pr/(2t) = 50 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 50·sin²60° + 100·cos²60° = 62.5 MPa
答え
σn = 62.5 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 2176 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 20·1000/78.54 = 254.6 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 254.6/117000 = 0.002176 = 2176 µε
答え
ε = 2176 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 174.1 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 71.3 MPa
σ2 = 174.1 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 174.1 MPa
答え
σmax = 174.1 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 4.205 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4.205 kN
答え
Pcr = 4.205 kN
10.柱の座屈
答え: d = 118.8 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·90000 = 270000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 118.8 mm
答え
d = 118.8 mm
確認：細長比 KL/r は 168.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 1.801 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(4000/20) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.6²) = 1.801 Hz
答え
fd = 1.801 Hz
12.機械振動
答え: keq = 70 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 50 + 20 = 70 kN/m
答え
keq = 70 kN/m
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