歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 157.5 mm である。これらをモジュール 3 mm、減速比 2.5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 ピニオンの歯数 N1 はいくつ必要か。
a = 157.5 mmm = 3 mmi = 2.5
N1 =
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 20、各遊星歯車の歯数は 15 である。リングギヤを固定し、太陽歯車を 3000 rpm で駆動する。遊星キャリヤの回転速度 nc を求めよ。
Ns = 20Np = 15ns = 3000 rpm
nc = rpm
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 250 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 250 N·mdi/do = 0.7τallow = 40 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 0.5 m、B から 0.8 m の C にトルク 500 N·m が作用する。 断面 C の回転角 φC を度で求めよ。
d = 50 mmT0 = 500 N·ma = 0.5 mb = 0.8 mG = 39 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 160 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 160 MPaσy = −50 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 30 mm の中実軸が軸引張力 30 kNとトルク 1500 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 30 mmF = 30 kNT = 1500 N·m
τmax = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 80 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 80 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 75 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
15 kg の質量が、ばね定数 150 kN/m のばねと、減衰係数 1200 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 15 kgk = 150 kN/mc = 1200 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量がばね k₃ = 40 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 25 kN/m と k₂ = 30 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 25 kN/mk2 = 30 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N1 = 30
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·157.5/3 = 105
比で分ける
N1 = 105/(1 + 2.5) = 30
答え
N1 = 30
2.歯車と歯車列
答え: nc = 857.1 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 20 + 2·15 = 50
リング固定時のウィリスの式
nr = 0 とおき、キャリヤの回転速度について解きます。
(3000 − nc)/(0 − nc) = −50/20
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 3000·20/70 = 857.1 rpm
答え
nc = 857.1 rpm
キャリヤは太陽歯車と同じ向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: do = 34.73 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·40·0.7599)) = 34.73 mm
di = 0.7·34.73 = 24.31 mm
答え
do = 34.73 mm
中実軸なら d = 31.69 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: φC = 0.3684 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·0.8/1.3 = 307.7 N·m
TB = 500·0.5/1.3 = 192.3 N·m
C の回転角
区間 AC を使います：A で固定され、TA を受けます。
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 307692·500/(39000·613592) = 0.006429 rad = 0.3684°
答え
φC = 0.3684°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −10.43 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−40, 160 − −50) = −20.85°
要素上の角度
θp = −10.43°
答え
θp = −10.43°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 283.7 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 30000/(π·30²/4) = 30000/706.9 = 42.44 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282.9 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 21.22 MPa
R = √(21.22² + 282.9²) = 283.7 MPa
答え
τmax = 283.7 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.0983 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5027 = 6.511 × 10⁸ N
縮み
δ = 80000·800/6.511 × 10⁸ = 0.0983 mm
答え
δ = 0.0983 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.225 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 106.1 MPa
σ2 = 373 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 106.1·1500/117000 = 1.36 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 373·1000/200000 = 1.865 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.225 mm
答え
δ = 3.225 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 3.139 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·2500 = 5000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3.139 kN
答え
Pcr = 3.139 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 2.763 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/10 = 500
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2.763 MPa
答え
σcr = 2.763 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.4
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·15) = 3000 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 1200/3000 = 0.4
答え
ζ = 0.4
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 3.425 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 25 + 30 = 55 kN/m
keq = 55·40/(55 + 40) = 23.16 kN/m
固有振動数
ωn = √(23158/50) = 21.52 rad/s
fn = 21.52/(2π) = 3.425 Hz
答え
fn = 3.425 Hz
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