歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 4 kW のモータが、歯数 24、モジュール 2.5 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 4 kWn = 1450 rpmN1 = 24m = 2.5 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1500 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 15）が歯車 B（歯数 48）を駆動する。歯車 C（歯数 32）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 72）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1500 rpmA = 15B = 48C = 32D = 72
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 15 mm の中実試験片をトルク 50 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 3.69° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 50 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 3.69°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1000 rpm で 10 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 1000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 110 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 110 MPaσy = 30 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −80 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −80 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 20 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 150 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
25 kg の質量が、ばね定数 8 kN/m のばねと、減衰係数 90 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 25 kgk = 8 kN/mc = 90 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量がばね k₃ = 50 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 60 kN/m と k₂ = 80 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 60 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 878.1 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
ピニオンのトルク
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 4000/151.8 = 26.34 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 2.5·24 = 60 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·26.34/0.06 = 878.1 N
答え
Ft = 878.1 N
2.歯車と歯車列
答え: nout = 208.3 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1500·15/48 = 468.8 rpm = nC
第 2 段
nout = 468.8·32/72 = 208.3 rpm
答え
nout = 208.3 rpm
全体の速比 = 7.2 : 1
3.軸のねじり
答え: G = 39.05 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 3.69·π/180 = 0.0644 rad
横弾性係数
T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·250/(4970·0.0644) = 39052 MPa
G = 39.05 GPa
答え
G = 39.05 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 18.25 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18.25 mm
答え
d = 18.25 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 44.72 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((110 − 30)/2)² + 20²) = 44.72 MPa
答え
τmax = 44.72 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −13.27 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −35 + −45·0.1736 + 30·0.9848 = −13.27 MPa
答え
σθ = −13.27 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 1273 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 20·1000/78.54 = 254.6 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 254.6/200000 = 0.001273 = 1273 µε
答え
ε = 1273 µε
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 488.9 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5890 = 6.519 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00075, 0.001) = 0.00075 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.00075·6.519 × 10⁸ = 488910 N = 488.9 kN
答え
Pmax = 488.9 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 47.59 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/1400² = 47586 N = 47.59 kN
答え
Pcr = 47.59 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 12.34 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/6.25 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答え
σcr = 12.34 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.1006
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(8000·25) = 894.4 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 90/894.4 = 0.1006
答え
ζ = 0.1006
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 13.66 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 60 + 80 = 140 kN/m
keq = 140·50/(140 + 50) = 36.84 kN/m
固有振動数
ωn = √(36842/5) = 85.84 rad/s
fn = 85.84/(2π) = 13.66 Hz
答え
fn = 13.66 Hz
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