歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 100 mm の駆動プーリ上を 1440 rpm で走っています。張力は張り側で 1200 N、緩み側で 360 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 100 mmn1 = 1440 rpmT1 = 1200 NT2 = 360 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、160 rpm の直径 720 mm の駆動プーリと直径 300 mm のプーリをつなぎ、中心は 800 mm 離れています。摩擦係数は 0.25 で、張り側の張力は 1000 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 160 mmn1 = 720 rpmd2 = 300 mmC = 800 mmμ = 0.25T1 = 1000 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 15 mm の中実試験片をトルク 50 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 5.54° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 50 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 5.54°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 1500 rpm で 15 kW を伝達する。せん断応力は 60 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 1° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 20 MPa、σᵧ = 30 MPa である。最大主応力が 60 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 20 MPaσy = 30 MPaσ1 = 60 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 30 mm の中実軸が軸圧縮力 180 kNとトルク 500 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 30 mmF = −180 kNT = 500 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 150 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 150 kN棒: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 80 kN区間 1：Ø35 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 145 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 145 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 15 mm の 1 周期後に 11.7 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 15 mmx1 = 11.7 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量がばね k₃ = 30 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 60 kN/m と k₂ = 5 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 25 kgk1 = 60 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 6.333 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 7.54 m/s
電力
P = (1200 − 360)·7.54 = 6333 W = 6.333 kW
答え
P = 6.333 kW
2.歯車と歯車列
答え: P = 3.159 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.966 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.7416 = 2.099, T₂ = 1000/2.099 = 476.4 N
電力
P = (1000 − 476.4)·6.032 = 3.159 kW
答え
P = 3.159 kW
3.軸のねじり
答え: G = 26.01 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 5.54·π/180 = 0.09669 rad
横弾性係数
T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·250/(4970·0.09669) = 26011 MPa
G = 26.01 GPa
答え
G = 26.01 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 34.57 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 15000/157.1 = 95.49 N·m
強度から決まる直径
T = 95.49 N·m = 95493 N·mm
dτ = ∛(16·95493/(π·60)) = 20.09 mm
剛性から決まる直径
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·95493/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 34.57 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(20.09, 34.57) = 34.57 mm
答え
d = 34.57 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 34.64 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (20 + 30)/2 = 25 MPa
R = σ1 − C = 60 − 25 = 35 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 5²) = 34.64 MPa
答え
τxy = 34.64 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 31.13 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −180000/(π·30²/4) = −180000/706.9 = −254.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94.31 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −127.3 MPa
R = √((−127.3)² + 94.31²) = 158.5 MPa
σ1 = C + R = 31.13 MPa
σ2 = C − R = −285.8 MPa
答え
σ1 = 31.13 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.07519 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9.975 × 10⁸ N
縮み
δ = 150000·500/9.975 × 10⁸ = 0.07519 mm
答え
δ = 0.07519 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 4.573 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 83.15 MPa
σ2 = 397.9 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 83.15·500/70000 = 0.5939 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 397.9·1000/100000 = 3.979 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.573 mm
答え
δ = 4.573 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 4.935 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·4000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/4000² = 4935 N = 4.935 kN
答え
Pcr = 4.935 kN
10.柱の座屈
答え: d = 50.94 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·145000 = 290000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 50.94 mm
答え
d = 50.94 mm
確認：細長比 KL/r は 117.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.03951
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(15/11.7) = 0.2485
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2485/√(39.48 + 0.06173) = 0.03951
答え
ζ = 0.03951
12.機械振動
答え: fn = 4.56 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 60 + 5 = 65 kN/m
keq = 65·30/(65 + 30) = 20.53 kN/m
固有振動数
ωn = √(20526/25) = 28.65 rad/s
fn = 28.65/(2π) = 4.56 Hz
答え
fn = 4.56 Hz
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