歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
960 rpm の 3 kW のモータが条数 4 のウォームを駆動する。ウォームホイールの歯数は 36、伝動効率は 80% である。ホイール軸の出力トルク Tw を求めよ。
z = 4Nw = 36n = 960 rpmP = 3 kWη = 80%
Tw = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 30）が 1440 rpm で回転し、歯車 B（歯数 60）を駆動する。歯車 C（歯数 40）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 400 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 1440 rpmA = 30B = 60C = 40nout = 400 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 500 N·md = 50 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 40 mm のアルミニウム製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.2 m、B から 1.5 m の C にトルク 250 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 40 mmT0 = 250 N·ma = 1.2 mb = 1.5 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −10 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −10 MPaσy = 60 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 800 mm、肉厚 15 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 30° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 800 mmt = 15 mmp = 2.5 MPaα = 30°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 90 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 95 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 20 mm の 2 周期後に 13.7 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 20 mmx2 = 13.7 mmn = 2
ζ =
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 80 kN/m、下のばねは k₂ = 10 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 25 kgk1 = 80 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Tw = 214.9 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 960·4/36 = 106.7 rpm
出力トルク
ωw = 2π·106.7/60 = 11.17 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.8·3000/11.17 = 214.9 N·m
答え
Tw = 214.9 N·m
2.歯車と歯車列
答え: ND = 72
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中間軸の回転速度
nB = nC = 1440·30/60 = 720 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 40·720/400 = 72
答え
ND = 72
3.軸のねじり
答え: φ = 0.8979 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(26000·613592) = 0.01567 rad
φ = 0.01567·180/π = 0.8979°
答え
φ = 0.8979°
4.軸のねじり
答え: τmax = 11.05 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·1.5/2.7 = 138.9 N·m
TB = 250·1.2/2.7 = 111.1 N·m
最大せん断応力
2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。
τmax = 16·138889/(π·40³) = 11.05 MPa
答え
τmax = 11.05 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = 74.87 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −60/69.46 = −0.8638, sin 2θs = −(−35)/69.46 = 0.5039
2θs = atan2(35, −60) = 149.7°
要素上の角度
θs = 74.87°
確認: θs − θp = 74.87 − (−60.13) = 135°
答え
θs = 74.87°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 58.33 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 2.5·400/15 = 66.67 MPa
σa = pr/(2t) = 33.33 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 33.33·sin²30° + 66.67·cos²30° = 58.33 MPa
答え
σn = 58.33 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 90.56 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1.447 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/5.521 × 10⁻⁶ = 90560 N = 90.56 kN
答え
P = 90.56 kN
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.954 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 71.62 MPa
σ2 = 447.6 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 71.62·1000/100000 = 0.7162 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 447.6·1000/200000 = 2.238 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.954 mm
答え
δ = 2.954 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 24.67 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2500² = 24674 N = 24.67 kN
答え
Pcr = 24.67 kN
10.柱の座屈
答え: d = 76.92 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 76.92 mm
答え
d = 76.92 mm
確認：細長比 KL/r は 130 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.03009
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/2)·ln(20/13.7) = 0.1892
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1892/√(39.48 + 0.03578) = 0.03009
答え
ζ = 0.03009
12.機械振動
答え: keq = 8.889 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/80 + 1/10 → keq = 80·10/(80 + 10) = 8.889 kN/m
答え
keq = 8.889 kN/m
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