歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 7.5 kW のモータが、歯数 20、モジュール 2.5 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 7.5 kWn = 1440 rpmN1 = 20m = 2.5 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、200 rpm の直径 1450 mm の駆動プーリと直径 250 mm のプーリをつなぎ、中心は 1200 mm 離れています。摩擦係数は 0.25 で、張り側の張力は 1200 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 200 mmn1 = 1450 rpmd2 = 250 mmC = 1200 mmμ = 0.25T1 = 1200 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 20 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1000 rpm で 75 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 75 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 80 MPa、σᵧ = 60 MPa である。最大主応力が 90 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 80 MPaσy = 60 MPaσ1 = 90 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 50 mm の中実軸が軸圧縮力 180 kNとトルク 1500 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 50 mmF = −180 kNT = 1500 N·m
τmax = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 100 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 20 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 85 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 85 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 50 mm の 3 周期後に 16.1 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 50 mmx3 = 16.1 mmn = 3
ζ =
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量がばね k₃ = 30 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 40 kN/m と k₂ = 100 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 100 kgk1 = 40 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 1989 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
ピニオンのトルク
ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T = P/ω = 7500/150.8 = 49.74 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 2.5·20 = 50 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·49.74/0.05 = 1989 N
答え
Ft = 1989 N
2.歯車と歯車列
答え: P = 9.826 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 3.1 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.775 = 2.171, T₂ = 1200/2.171 = 552.9 N
電力
P = (1200 − 552.9)·15.18 = 9.826 kW
答え
P = 9.826 kW
3.軸のねじり
答え: φ = 7.295 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(80000·15708) = 0.1273 rad
φ = 0.1273·180/π = 7.295°
答え
φ = 7.295°
4.軸のねじり
答え: d = 39.32 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·716197/(π·60)) = 39.32 mm
答え
d = 39.32 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 17.32 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (80 + 60)/2 = 70 MPa
R = σ1 − C = 90 − 70 = 20 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 10²) = 17.32 MPa
答え
τxy = 17.32 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 76.39 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −180000/(π·50²/4) = −180000/1963 = −91.67 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61.12 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −45.84 MPa
R = √((−45.84)² + 61.12²) = 76.39 MPa
答え
τmax = 76.39 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 4421 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 100·1000/113.1 = 884.2 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 884.2/200000 = 0.004421 = 4421 µε
答え
ε = 4421 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 12.34 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 110000·706.9/200 = 388772 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 20000·388772/891427 = 8722 N
応力
σ2 = 8722/706.9 = 12.34 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 12.34 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 2.768 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1400² = 2768 N = 2.768 kN
答え
Pcr = 2.768 kN
10.柱の座屈
答え: d = 83.72 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 83.72 mm
答え
d = 83.72 mm
確認：細長比 KL/r は 133.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.06001
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/3)·ln(50/16.1) = 0.3777
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3777/√(39.48 + 0.1427) = 0.06001
答え
ζ = 0.06001
12.機械振動
答え: fn = 2.502 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 40 + 100 = 140 kN/m
keq = 140·30/(140 + 30) = 24.71 kN/m
固有振動数
ωn = √(24706/100) = 15.72 rad/s
fn = 15.72/(2π) = 2.502 Hz
答え
fn = 2.502 Hz
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