歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2900 rpm で回転する 0.75 kW のモータが歯数 16 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 32 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 97% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 0.75 kWn1 = 2900 rpmN1 = 16N2 = 32η = 97%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 200 mm のプーリと直径 500 mm のプーリをつなぎ、その中心は 800 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 200 mmd2 = 500 mmC = 800 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 5 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 5 kWN = 500 rpmdo = 50 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −40 MPa、σᵧ = −30 MPa である。最大主応力が 15 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = −40 MPaσy = −30 MPaσ1 = 15 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 80 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 420 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 80 MPaσy = 10 MPaτxy = −10 MPaσY = 420 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 300 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 100 kN区間 1：Ø25 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø20 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
5 kg の質量が、ばね定数 50 kN/m のばねと、減衰係数 100 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 5 kgk = 50 kN/mc = 100 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 15 kN/m、k₂ = 12 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 15 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 4.791 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/303.7 = 2.47 N·m
出力トルク
T2 = 2.47·32/16·0.97 = 4.791 N·m
答え
T2 = 4.791 N·m
2.歯車と歯車列
答え: θ = 158.4 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.1875) = 10.81°
巻き付け角
θ = 180 − 2·10.81 = 158.4°
答え
θ = 158.4°
3.軸のねじり
答え: φ = 5.976 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·38350) = 0.1043 rad
φ = 0.1043·180/π = 5.976°
答え
φ = 5.976°
4.軸のねじり
答え: τmax = 4.47 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 95493·25/534071 = 4.47 MPa
答え
τmax = 4.47 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 49.75 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (−40 + (−30))/2 = −35 MPa
R = σ1 − C = 15 − (−35) = 50 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 5²) = 49.75 MPa
答え
τxy = 49.75 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 5.16
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 45 MPa, R = 36.4 MPa
σ1 = 81.4 MPa, σ2 = 8.599 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 81.4 MPa
n = 420/81.4 = 5.16
答え
n = 5.16
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.541 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·3063 = 2.772 × 10⁸ N
縮み
δ = 300000·500/2.772 × 10⁸ = 0.541 mm
答え
δ = 0.541 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 318.3 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 203.7 MPa
σ2 = 318.3 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 318.3 MPa
答え
σmax = 318.3 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 16.79 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2800² = 16785 N = 16.79 kN
答え
Pcr = 16.79 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 5.483 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/10 = 600
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5.483 MPa
答え
σcr = 5.483 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.1
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·5) = 1000 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 100/1000 = 0.1
答え
ζ = 0.1
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 3.698 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 15 + 12 = 27 kN/m
固有振動数
ωn = √(27000/50) = 23.24 rad/s
fn = 23.24/(2π) = 3.698 Hz
答え
fn = 3.698 Hz
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