歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1500 rpm で回転する 2.2 kW のモータが歯数 20 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 40 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 2.2 kWn1 = 1500 rpmN1 = 20N2 = 40η = 100%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、3000 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 36）が歯車 B（歯数 50）を駆動する。歯車 C（歯数 25）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 80）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 3000 rpmA = 36B = 50C = 25D = 80
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 500 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 75 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 75 kWN = 1000 rpmdo = 80 mmdi = 48 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −80 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −80 MPaσy = −30 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 40 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 10 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 250 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 40 MPaσy = 50 MPaτxy = 10 MPaσY = 250 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 20 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 70 kN区間 1：Ø25 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø20 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 80 kN/m のばねにつながれた 100 kg の質量に、減衰比 0.35 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 100 kgk = 80 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 80 kN/m、下のばねは k₂ = 25 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 28.01 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/157.1 = 14.01 N·m
出力トルク
T2 = 14.01·40/20·1 = 28.01 N·m
答え
T2 = 28.01 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nout = 675 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 3000·36/50 = 2160 rpm = nC
第 2 段
nout = 2160·25/80 = 675 rpm
答え
nout = 675 rpm
全体の速比 = 4.444 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 14.37 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(26000·38350) = 0.2507 rad
φ = 0.2507·180/π = 14.37°
答え
φ = 14.37°
4.軸のねじり
答え: τmax = 8.185 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m
断面二次極モーメント
J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3.5 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 716197·40/3.5 × 10⁶ = 8.185 MPa
答え
τmax = 8.185 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −58.28 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−50, −80 − −30) = −116.6°
要素上の角度
θp = −58.28°
答え
θp = −58.28°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 5.103
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 45 MPa, R = 11.18 MPa
σ1 = 56.18 MPa, σ2 = 33.82 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(56.18² − 56.18·33.82 + 33.82²) = 48.99 MPa
n = 250/48.99 = 5.103
答え
n = 5.103
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.6112 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 40.74/100000 = 0.0004074 = 407.4 µε
伸び
δ = ε·L = 0.0004074·1500 mm = 0.6112 mm
答え
δ = 0.6112 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.57 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 142.6 MPa
σ2 = 222.8 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 142.6·500/100000 = 0.713 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 222.8·1500/117000 = 2.857 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.57 mm
答え
δ = 3.57 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 71.19 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1050² = 71188 N = 71.19 kN
答え
Pcr = 71.19 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 64.45 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/20 = 175
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64.45 MPa
答え
σcr = 64.45 MPa
11.機械振動
答え: fd = 4.217 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(80000/100) = 28.28 rad/s
fn = 28.28/(2π) = 4.502 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 4.502·√(1 − 0.35²) = 4.217 Hz
答え
fd = 4.217 Hz
12.機械振動
答え: keq = 19.05 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/80 + 1/25 → keq = 80·25/(80 + 25) = 19.05 kN/m
答え
keq = 19.05 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design