歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 1.5 kW のモータが歯数 12 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 72 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 97% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 1.5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 12N2 = 72η = 97%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、120 rpm の直径 720 mm の駆動プーリと直径 315 mm のプーリをつなぎ、中心は 1000 mm 離れています。摩擦係数は 0.3 で、張り側の張力は 2000 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 120 mmn1 = 720 rpmd2 = 315 mmC = 1000 mmμ = 0.3T1 = 2000 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 12 mm の中実試験片をトルク 40 N·m でねじる。標点距離 400 mm の両端は互いに 11.55° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 40 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 11.55°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 300 rpm で 15 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 140 MPa、σᵧ = 60 MPa である。最大主応力が 185 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 140 MPaσy = 60 MPaσ1 = 185 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 60 mm の中実軸が曲げモーメント 500 N·mとトルク 1500 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 60 mmM = 500 N·mT = 1500 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
20 kg の質量が、ばね定数 150 kN/m のばねと、減衰係数 2080 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 20 kgk = 150 kN/mc = 2080 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量がばね k₃ = 10 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 12 kN/m と k₂ = 50 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 9.947 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/150.8 = 9.947 N·m
答え
T1 = 9.947 N·m
2.歯車と歯車列
答え: P = 5.309 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.946 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.8839 = 2.42, T₂ = 2000/2.42 = 826.3 N
電力
P = (2000 − 826.3)·4.524 = 5.309 kW
答え
P = 5.309 kW
3.軸のねじり
答え: G = 38.99 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 11.55·π/180 = 0.2016 rad
横弾性係数
T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·400/(2036·0.2016) = 38988 MPa
G = 38.99 GPa
答え
G = 38.99 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 36.5 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·50)) = 36.5 mm
答え
d = 36.5 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 75 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (140 + 60)/2 = 100 MPa
R = σ1 − C = 185 − 100 = 85 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 40²) = 75 MPa
答え
τxy = 75 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 49.07 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·60³) = 23.58 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35.37 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 11.79 MPa
R = √(11.79² + 35.37²) = 37.28 MPa
σ1 = C + R = 49.07 MPa
σ2 = C − R = −25.49 MPa
答え
σ1 = 49.07 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 62.79 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9.26 × 10⁻⁷ mm/N
荷重
P = 0.25/3.982 × 10⁻⁶ = 62786 N = 62.79 kN
答え
P = 62.79 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 68.21 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 100000·628319/733038 = 85714 N
応力
σ2 = 85714/1257 = 68.21 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 68.21 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 347.3 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347.3 kN
答え
Pcr = 347.3 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 6.294 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/6.25 = 560
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6.294 MPa
答え
σcr = 6.294 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.6004
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·20) = 3464 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 2080/3464 = 0.6004
答え
ζ = 0.6004
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 2.335 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 12 + 50 = 62 kN/m
keq = 62·10/(62 + 10) = 8.611 kN/m
固有振動数
ωn = √(8611/40) = 14.67 rad/s
fn = 14.67/(2π) = 2.335 Hz
答え
fn = 2.335 Hz
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