歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1500 rpm で回転する 2.2 kW のモータが歯数 12 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 36 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 97% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 2.2 kWn1 = 1500 rpmN1 = 12N2 = 36η = 97%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 150 mm のプーリと直径 400 mm のプーリをつなぎ、その中心は 600 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 150 mmd2 = 400 mmC = 600 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·md = 20 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
アルミニウム製の中実軸が 300 rpm で 75 kW を伝達する。せん断応力は 60 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.5° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 75 kWN = 300 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0.5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 10 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 10 MPaσy = 80 MPaτxy = 20 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 30 mm の中実軸が軸圧縮力 40 kNとトルク 750 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 30 mmF = −40 kNT = 750 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 100 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 50 mm、長さ 200 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 30 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 135 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 135 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 30 mm の 5 周期後に 0.7 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 30 mmx5 = 0.7 mmn = 5
ζ =
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 10 kN/m、下のばねは k₂ = 60 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 10 kgk1 = 10 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 40.76 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/157.1 = 14.01 N·m
出力トルク
T2 = 14.01·36/12·0.97 = 40.76 N·m
答え
T2 = 40.76 N·m
2.歯車と歯車列
答え: θ = 156 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.2083) = 12.02°
巻き付け角
θ = 180 − 2·12.02 = 156°
答え
θ = 156°
3.軸のねじり
答え: φ = 22.8 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(80000·15708) = 0.3979 rad
φ = 0.3979·180/π = 22.8°
答え
φ = 22.8°
4.軸のねじり
答え: d = 101.7 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m
強度から決まる直径
T = 2387 N·m = 2.387 × 10⁶ N·mm
dτ = ∛(16·2.387 × 10⁶/(π·60)) = 58.74 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·2.387 × 10⁶/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 101.7 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(58.74, 101.7) = 101.7 mm
答え
d = 101.7 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = 30.13 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = 20/40.31 = 0.4961, sin 2θs = −(−35)/40.31 = 0.8682
2θs = atan2(35, 20) = 60.26°
要素上の角度
θs = 30.13°
確認: θs − θp = 30.13 − 75.13 = −45°
答え
θs = 30.13°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 116 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −40000/(π·30²/4) = −40000/706.9 = −56.59 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141.5 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −28.29 MPa
R = √((−28.29)² + 141.5²) = 144.3 MPa
σ1 = C + R = 116 MPa
σ2 = C − R = −172.6 MPa
答え
σ1 = 116 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.09845 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·2199 = 3.047 × 10⁸ N
縮み
δ = 100000·300/3.047 × 10⁸ = 0.09845 mm
答え
δ = 0.09845 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 10.09 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 70000·1963/200 = 687223 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 30000·687223/1.041 × 10⁶ = 19811 N
応力
σ2 = 19811/1963 = 10.09 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 10.09 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 248.1 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1000² = 248050 N = 248.1 kN
答え
Pcr = 248.1 kN
10.柱の座屈
答え: d = 43.2 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 43.2 mm
答え
d = 43.2 mm
確認：細長比 KL/r は 92.59 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1188
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/5)·ln(30/0.7) = 0.7516
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7516/√(39.48 + 0.5649) = 0.1188
答え
ζ = 0.1188
12.機械振動
答え: fn = 4.66 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/10 + 1/60 → keq = 10·60/(10 + 60) = 8.571 kN/m
固有振動数
ωn = √(8571/10) = 29.28 rad/s
fn = 29.28/(2π) = 4.66 Hz
答え
fn = 4.66 Hz
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