機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

2 本の平行軸の間隔は 450 mm である。これらをモジュール 5 mm、減速比 5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。歯車の歯数 N₂ はいくつ必要か。

a = 450 mmm = 5 mmi = 5

N₂ =

2.歯車と歯車列むずかしい

複合歯車列において、1500 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 18）が歯車 B（歯数 40）を駆動する。歯車 C（歯数 30）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 50）を駆動する。出力回転速度 n_out を求めよ。

n_in = 1500 rpmA = 18B = 40C = 30D = 50

n_out = rpm

3.軸のねじりふつう

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

中実軸が 300 rpm で 50 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 10 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −20 MPa、σ_z = 0。その点での絶対最大せん断応力 τ_abs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σ_x = 10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

直径 60 mm の中実軸が軸引張力 190 kNとトルク 500 N·m を同時に受ける。軸の表面で、面内最大せん断応力 τ_max を求めよ。

d = 60 mmF = 190 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

7.軸応力とひずみふつう

鋼の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、青銅でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 50 kN によって一緒に圧縮されます。縮み δ を求めなさい。

P = 50 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.軸応力とひずみむずかしい

鋼の区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、黄銅でできた区間（直径 60 mm、長さ 300 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 20 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ₂ を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.機械振動ふつう

減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 40 mm の 1 周期後に 35.3 mm のピークが現れた。減衰比 ζ を求めよ。

x₀ = 40 mmx₁ = 35.3 mmn = 1

ζ =

12.機械振動むずかしい

25 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 50 kN/m、k₂ = 80 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 f_n を Hz で求めよ。

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: N₂ = 150

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

歯数の合計

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·450/5 = 180

比で分ける

N₁ = 180/(1 + 5) = 30

N₂ = 5·30 = 150

答え

N₂ = 150

2.歯車と歯車列

答え: n_out = 405 rpm

歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。

第 1 段

n_B = 1500·18/40 = 675 rpm = n_C

第 2 段

n_out = 675·30/50 = 405 rpm

答え

n_out = 405 rpm

全体の速比 = 3.704 : 1

3.軸のねじり

答え: φ = 19.73 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(26000·251327) = 0.3443 rad

φ = 0.3443·180/π = 19.73°

答え

φ = 19.73°

4.軸のねじり

答え: d = 51.31 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·60)) = 51.31 mm

答え

d = 51.31 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_abs = 20 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σ_max − σ_min)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

面内の主応力

C = 10 MPa, R = √(0² + (−20)²) = 20 MPa

σ₁ = 30 MPa, σ₂ = −10 MPa, σ_z = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(40, 30, 10)/2 = 20 MPa

答え

τ_abs = 20 MPa

ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_max = 35.61 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = F/A = 190000/(π·60²/4) = 190000/2827 = 67.2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11.79 MPa

モールの応力円

C = σ/2 = 33.6 MPa

R = √(33.6² + 11.79²) = 35.61 MPa

答え

τ_max = 35.61 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.03248 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·5027 = 6.158 × 10⁸ N

縮み

δ = 50000·400/6.158 × 10⁸ = 0.03248 mm

答え

δ = 0.03248 mm

8.軸応力とひずみ

答え: σ₂ = 4.613 MPa

剛性

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·2827/300 = 942478 N/mm

区間 2 の分担

F₂ = 20000·942478/1.445 × 10⁶ = 13043 N

応力

σ₂ = 13043/2827 = 4.613 MPa （圧縮）

答え

σ₂ = 4.613 MPa

9.柱の座屈

答え: P_cr = 16.45 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2000 = 2000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2000² = 16449 N = 16.45 kN

答え

P_cr = 16.45 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 8.567 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12.5 = 480

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa

答え

σ_cr = 8.567 MPa

11.機械振動

答え: ζ = 0.01989

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

対数減衰率

δ = (1/1)·ln(40/35.3) = 0.125

減衰比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.125/√(39.48 + 0.01562) = 0.01989

答え

ζ = 0.01989

12.機械振動

答え: f_n = 11.48 Hz

等価ばね定数

並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k₁ + k₂。

k_eq = 50 + 80 = 130 kN/m

固有振動数

ω_n = √(130000/25) = 72.11 rad/s

f_n = 72.11/(2π) = 11.48 Hz

答え

f_n = 11.48 Hz

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