歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 160 mm のプーリが 1440 rpm で回り、滑り 4 % のベルトで直径 200 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 1440 rpmd1 = 160 mmd2 = 200 mms = 4 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、960 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 15）が歯車 B（歯数 60）を駆動する。歯車 C（歯数 25）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 60）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 960 rpmA = 15B = 60C = 25D = 60
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1450 rpm で 5 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 5 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.5τallow = 60 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −10 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。要素を時計回りに 45°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −10 MPaσy = 0 MPaτxy = 10 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 1200 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 0.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 40° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 1200 mmt = 5 mmp = 0.5 MPaα = 40°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 65 kNd = 30 mmL = 2 mE = 200 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 85 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø12 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
2 kg の質量が、ばね定数 20 kN/m のばねと、減衰係数 240 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 2 kgk = 20 kN/mc = 240 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 25 kN/m、下のばねは k₂ = 40 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 25 kgk1 = 25 kN/mk2 = 40 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 1106 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
1440·160/200 = 1152 rpm
滑りあり
n2 = 1152·0.96 = 1106 rpm
答え
n2 = 1106 rpm
2.歯車と歯車列
答え: nout = 100 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 960·15/60 = 240 rpm = nC
第 2 段
nout = 240·25/60 = 100 rpm
答え
nout = 100 rpm
全体の速比 = 9.6 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 1.313 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(80000·613592) = 0.02292 rad
φ = 0.02292·180/π = 1.313°
答え
φ = 1.313°
4.軸のねじり
答え: do = 14.39 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 5000/151.8 = 32.93 N·m
許容応力からの外径
T = 32.93 N·m = 32929 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·32929/(π·60·0.9375)) = 14.39 mm
di = 0.5·14.39 = 7.196 mm
答え
do = 14.39 mm
中実軸なら d = 14.09 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −5 − (−5)·0 − 10·(−1) = 5 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −15 MPa, σx′ + σy′ = −10 = σx + σy
答え
σy′ = 5 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 47.6 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 0.5·600/5 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 30·sin²40° + 60·cos²40° = 47.6 MPa
答え
σn = 47.6 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 459.8 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 65·1000/706.9 = 91.96 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 91.96/200000 = 0.0004598 = 459.8 µε
答え
ε = 459.8 µε
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.845 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 67.64 MPa
σ2 = 751.6 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 67.64·1000/70000 = 0.9663 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 751.6·500/200000 = 1.879 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.845 mm
答え
δ = 2.845 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 44.29 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1400² = 44295 N = 44.29 kN
答え
Pcr = 44.29 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 56.65 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/7.5 = 186.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186.7² = 56.65 MPa
答え
σcr = 56.65 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.6
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·2) = 400 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 240/400 = 0.6
答え
ζ = 0.6
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: keq = 15.38 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/25 + 1/40 → keq = 25·40/(25 + 40) = 15.38 kN/m
答え
keq = 15.38 kN/m
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