機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

1440 rpm の 0.37 kW のモータが条数 1 のウォームを駆動する。ウォームホイールの歯数は 45、伝動効率は 85% である。ホイール軸の出力トルク T_w を求めよ。

z = 1N_w = 45n = 1440 rpmP = 0.37 kWη = 85%

T_w = N·m

2.歯車と歯車列むずかしい

遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 24、各遊星歯車の歯数は 18 である。リングギヤを固定し、太陽歯車を 1800 rpm で駆動する。遊星キャリヤの回転速度 n_c を求めよ。

N_s = 24N_p = 18n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

3.軸のねじりふつう

黄銅製の中空軸（外径 30 mm、内径 21 mm、長さ 0.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 500 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 500 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

直径 50 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 0.8 m、B から 1.2 m の C にトルク 200 N·m が作用する。壁 A における反力トルク T_A を求めよ。

d = 50 mmT₀ = 200 N·ma = 0.8 mb = 1.2 m

T_A = N·m

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

ある点で σₓ = −80 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。要素を時計回りに 20°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σ_y′ を求めよ。

σ_x = −80 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −40 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = −50 MPa（σ_z = 0）。材料の降伏強さは 420 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σ_x = −40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.軸応力とひずみふつう

棒が、鋼の区間（直径 25 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウムでできた区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

8.軸応力とひずみむずかしい

鋼の区間（直径 20 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅でできた区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 60 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ₂ を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.機械振動ふつう

200 kg の質量が、ばね定数 20 kN/m のばねと、減衰係数 200 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。

m = 200 kgk = 20 kN/mc = 200 N·s/m

ζ =

12.機械振動むずかしい

5 kg の質量がばね k₃ = 80 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 30 kN/m と k₂ = 60 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 f_n を Hz で求めよ。

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: T_w = 93.85 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

ホイールの回転速度

n_w = n·z/N_w = 1440·1/45 = 32 rpm

出力トルク

ω_w = 2π·32/60 = 3.351 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.85·370/3.351 = 93.85 N·m

答え

T_w = 93.85 N·m

2.歯車と歯車列

答え: n_c = 514.3 rpm

遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。

リングギヤの歯数

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·18 = 60

リング固定時のウィリスの式

n_r = 0 とおき、キャリヤの回転速度について解きます。

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −60/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·24/84 = 514.3 rpm

答え

n_c = 514.3 rpm

キャリヤは太陽歯車と同じ向きに回転します。

3.軸のねじり

答え: φ = 6.078 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

ねじれ角

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·500/(39000·60428) = 0.1061 rad

φ = 0.1061·180/π = 6.078°

答え

φ = 6.078°

4.軸のねじり

答え: T_A = 120 N·m

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。両端が固定されていると、静力学だけでは T_A + T_B = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1.2/2 = 120 N·m

T_B = 200·0.8/2 = 80 N·m

答え

T_A = 120 N·m

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ_y′ = −4.554 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

y′ 面の座標変換の式

σ_y′ = −30 − (−50)·0.766 − (−20)·(−0.6428) = −4.554 MPa

確認

垂直応力の和は回転しても変わりません。

σ_x′ = −55.45 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −60 = σ_x + σ_y

答え

σ_y′ = −4.554 MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 4.403

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σ_Y に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σ_Y/2 に達したときに降伏すると予測します。

主応力

C = −40 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 10 MPa, σ₂ = −90 MPa, σ₃ = 0

ミーゼス

σ_vM = √(10² − 10·(−90) + (−90)²) = 95.39 MPa

n = 420/95.39 = 4.403

答え

n = 4.403

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

7.軸応力とひずみ

答え: P = 37.94 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706.9) = 8.084 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.5/1.318 × 10⁻⁵ = 37945 N = 37.94 kN

答え

P = 37.94 kN

8.軸応力とひずみ

答え: σ₂ = 46.95 MPa

剛性

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 110000·706.9/400 = 194386 N/mm

区間 2 の分担

F₂ = 60000·194386/351466 = 33184 N

応力

σ₂ = 33184/706.9 = 46.95 MPa （圧縮）

答え

σ₂ = 46.95 MPa

9.柱の座屈

答え: P_cr = 3.886 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·2000 = 4000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/4000² = 3886 N = 3.886 kN

答え

P_cr = 3.886 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 31.58 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31.58 MPa

答え

σ_cr = 31.58 MPa

11.機械振動

答え: ζ = 0.05

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

臨界減衰

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·200) = 4000 N·s/m

減衰比

ζ = c/c_c = 200/4000 = 0.05

答え

ζ = 0.05

ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。

12.機械振動

答え: f_n = 14.65 Hz

等価ばね定数

並列なのは k₁ と k₂ だけです。その組が k₃ と直列なので、逆数で合成しましょう。

k₁₂ = 30 + 60 = 90 kN/m

k_eq = 90·80/(90 + 80) = 42.35 kN/m

固有振動数

ω_n = √(42353/5) = 92.04 rad/s

f_n = 92.04/(2π) = 14.65 Hz

答え

f_n = 14.65 Hz

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