機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車
n1·N1 = n2·N2
トルク
T2 = T1·(N2/N1)·η
電力
P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列
全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
静たわみから
ωn = √(g/δst)
臨界減衰
cc = 2√(km) = 2mωn
減衰比
ζ = c/cc
減衰固有振動数
ωd = ωn√(1 − ζ²)
対数減衰率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね
k = k1 + k2
直列ばね
1/k = 1/k1 + 1/k2

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう
N1​ = ?N2​

2 本の平行軸の間隔は 112.5 mm である。これらをモジュール 1.5 mm、減速比 5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 ピニオンの歯数 N1 はいくつ必要か。

a = 112.5 mmm = 1.5 mmi = 5
N1 =
2.歯車と歯車列むずかしい
d1​ = 150 mmd2​ = 250 mm2880 rpmC = 500 mmT1​ = 1000 NT2​P = ?

平行掛けのベルトが、150 rpm の直径 2880 mm の駆動プーリと直径 250 mm のプーリをつなぎ、中心は 500 mm 離れています。摩擦係数は 0.35 で、張り側の張力は 1000 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。

d1 = 150 mmn1 = 2880 rpmd2 = 250 mmC = 500 mmμ = 0.35T1 = 1000 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
T = 1000 N·md = 30 mmL = 0.8 mφ = ?

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Tdo​ = 40 mm, di​ = 32 mm

中空軸が 1450 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

P = 100 kWN = 1450 rpmdo = 40 mmdi = 32 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −60σy​ = 10τxy​ = 60MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = −60 MPaσy = 10 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の表面

直径 40 mm の中実軸が軸引張力 170 kNとトルク 400 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。

d = 40 mmF = 170 kNT = 400 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
Ø 25 mm銅1.5 mP = 95 kN

軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 95 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø20120 GPaØ120/60500 mm

鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、銅 でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 120 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
PL = 6 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 65 kNL = 2.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 65 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 65 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
k = 150 kN/mζ = 0.35m = 15 kg

ばね定数 150 kN/m のばねにつながれた 15 kg の質量に、減衰比 0.35 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。

m = 15 kgk = 150 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
k1​ = 50k2​ = 60m = 20 kg

20 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 50 kN/m、下のばねは k₂ = 60 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。

m = 20 kgk1 = 50 kN/mk2 = 60 kN/m
keq = kN/m

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: N1 = 25

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

歯数の合計

N1 + N2 = 2a/m = 2·112.5/1.5 = 150

比で分ける

N1 = 150/(1 + 5) = 25

答え

N1 = 25
2.歯車と歯車列

答え: P = 14.54 kW

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

巻き付け角

θ = 2.941 rad

緩み側の張力

eμθ = e1.029 = 2.799, T₂ = 1000/2.799 = 357.2 N

電力

P = (1000 − 357.2)·22.62 = 14.54 kW

答え

P = 14.54 kW
3.軸のねじり

答え: φ = 14.78 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(39000·79522) = 0.258 rad
φ = 0.258·180/π = 14.78°

答え

φ = 14.78°
4.軸のねじり

答え: τmax = 88.77 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 100000/151.8 = 658.6 N·m

断面二次極モーメント

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

最大せん断応力

τmax = T·(do/2)/J = 658572·20/148384 = 88.77 MPa

答え

τmax = 88.77 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 69.46 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((−60 − 10)/2)² + 60²) = 69.46 MPa

答え

τmax = 69.46 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ1 = 142.4 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = F/A = 170000/(π·40²/4) = 170000/1257 = 135.3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31.83 MPa
στxyCσ1​σ2​

モールの応力円

C = σ/2 = 67.64 MPa
R = √(67.64² + 31.83²) = 74.76 MPa
σ1 = C + R = 142.4 MPa
σ2 = C − R = −7.115 MPa

答え

σ1 = 142.4 MPa
7.軸応力とひずみ

答え: δ = 2.481 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 95·1000/490.9 = 193.5 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 193.5/117000 = 0.001654 = 1654 µε

伸び

δ = ε·L = 0.001654·1500 mm = 2.481 mm

答え

δ = 2.481 mm
8.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 864.6 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·8482 = 1.081 × 10⁹ N

支配するひずみ

ε = min(0.0008, 0.0008333) = 0.0008 (鋼)

最大荷重

Pmax = 0.0008·1.081 × 10⁹ = 864566 N = 864.6 kN

答え

Pmax = 864.6 kN
9.柱の座屈

答え: Pcr = 27.56 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN

答え

Pcr = 27.56 kN
10.柱の座屈

答え: d = 53.81 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 53.81 mm

答え

d = 53.81 mm

確認：細長比 KL/r は 185.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.機械振動

答え: fd = 14.91 Hz

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

減衰のない固有振動数

ωn = √(150000/15) = 100 rad/s
fn = 100/(2π) = 15.92 Hz

減衰固有振動数

fd = fn·√(1 − ζ²) = 15.92·√(1 − 0.35²) = 14.91 Hz

答え

fd = 14.91 Hz
12.機械振動

答え: keq = 27.27 kN/m

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

等価ばね定数

直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。

1/keq = 1/50 + 1/60 → keq = 50·60/(50 + 60) = 27.27 kN/m

答え

keq = 27.27 kN/m

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