歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 225 mm である。これらをモジュール 5 mm、減速比 3.5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 歯車の歯数 N2 はいくつ必要か。
a = 225 mmm = 5 mmi = 3.5
N2 =
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 20、各遊星歯車の歯数は 15 である。リングギヤを固定し、太陽歯車を 1200 rpm で駆動する。遊星キャリヤの回転速度 nc を求めよ。
Ns = 20Np = 15ns = 1200 rpm
nc = rpm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 500 rpm で 10 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 500 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 100 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = −50 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 100 MPaσy = 70 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 50° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −50 MPaσy = −70 MPaτxy = 20 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 50 mm、長さ 400 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 30 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 125 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 125 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 25 kN/m のばねにつながれた 8 kg の質量に、減衰比 0.3 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 8 kgk = 25 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 50 kN/m、k₂ = 5 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 50 kN/mk2 = 5 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N2 = 70
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·225/5 = 90
比で分ける
N1 = 90/(1 + 3.5) = 20
N2 = 3.5·20 = 70
答え
N2 = 70
2.歯車と歯車列
答え: nc = 342.9 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 20 + 2·15 = 50
リング固定時のウィリスの式
nr = 0 とおき、キャリヤの回転速度について解きます。
(1200 − nc)/(0 − nc) = −50/20
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1200·20/70 = 342.9 rpm
答え
nc = 342.9 rpm
キャリヤは太陽歯車と同じ向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: φ = 3.288 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·251327) = 0.05739 rad
φ = 0.05739·180/π = 3.288°
答え
φ = 3.288°
4.軸のねじり
答え: d = 44.18 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m
強度から決まる直径
T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·75)) = 23.49 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·190986/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 44.18 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(23.49, 44.18) = 44.18 mm
答え
d = 44.18 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 68.6 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 85 MPa, R = √(15² + (−50)²) = 52.2 MPa
σ1 = 137.2 MPa, σ2 = 32.8 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(104.4, 137.2, 32.8)/2 = 68.6 MPa
答え
τabs = 68.6 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −42.04 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −60 + 10·−0.1736 + 20·0.9848 = −42.04 MPa
答え
σθ = −42.04 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 49.9 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3.183 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.3/6.013 × 10⁻⁶ = 49896 N = 49.9 kN
答え
P = 49.9 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 11.71 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 30000·343612/448331 = 22993 N
応力
σ2 = 22993/1963 = 11.71 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 11.71 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 2.35 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2800² = 2350 N = 2.35 kN
答え
Pcr = 2.35 kN
10.柱の座屈
答え: d = 79.84 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·125000 = 312500 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 79.84 mm
答え
d = 79.84 mm
確認：細長比 KL/r は 105.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 8.487 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(25000/8) = 55.9 rad/s
fn = 55.9/(2π) = 8.897 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 8.897·√(1 − 0.3²) = 8.487 Hz
答え
fd = 8.487 Hz
12.機械振動
答え: fn = 5.279 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 50 + 5 = 55 kN/m
固有振動数
ωn = √(55000/50) = 33.17 rad/s
fn = 33.17/(2π) = 5.279 Hz
答え
fn = 5.279 Hz
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