歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1500 rpm で回転する 0.75 kW のモータが歯数 18 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 40 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 97% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 0.75 kWn1 = 1500 rpmN1 = 18N2 = 40η = 97%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 120 mm のプーリと直径 500 mm のプーリをつなぎ、その中心は 800 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 120 mmd2 = 500 mmC = 800 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
黄銅製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 50 mm、長さ 3 m、区間 BC は直径 30 mm、長さ 3 m である。自由端 C にトルク 750 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 750 N·md1 = 50 mm, L1 = 3 md2 = 30 mm, L2 = 3 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 3 m の B にトルク 250 N·m が作用し、さらに 0.8 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 200 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 60 mmTB = 250 N·mTC = 200 N·mAB = 3 mBC = 0.8 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −40 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 25°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −40 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 50 mm の中実軸が軸圧縮力 130 kNとトルク 750 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 50 mmF = −130 kNT = 750 N·m
τmax = MPa
7.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 120 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 125 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 125 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
150 kg の質量が、ばね定数 20 kN/m のばねと、減衰係数 1730 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 150 kgk = 20 kN/mc = 1730 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 25 kN/m、下のばねは k₂ = 5 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 5 kgk1 = 25 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 10.29 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/157.1 = 4.775 N·m
出力トルク
T2 = 4.775·40/18·0.97 = 10.29 N·m
答え
T2 = 10.29 N·m
2.歯車と歯車列
答え: θ = 152.5 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.2375) = 13.74°
巻き付け角
θ = 180 − 2·13.74 = 152.5°
答え
θ = 152.5°
3.軸のねじり
答え: τmax = 141.5 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 750 N·m = 750000 N·mm
τAB = 16·750000/(π·50³) = 30.56 MPa
τBC = 16·750000/(π·30³) = 141.5 MPa
答え
τmax = 141.5 MPa
4.軸のねじり
答え: τmax = 10.61 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC + TB = 200 + 250 = 450 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 450 N·m
τmax = 16·450000/(π·60³) = 10.61 MPa
答え
τmax = 10.61 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 52.01 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 30 − (−70)·0.6428 − 30·0.766 = 52.01 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 7.986 MPa, σx′ + σy′ = 60 = σx + σy
答え
σy′ = 52.01 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 45.05 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −130000/(π·50²/4) = −130000/1963 = −66.21 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30.56 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −33.1 MPa
R = √((−33.1)² + 30.56²) = 45.05 MPa
答え
τmax = 45.05 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 2445 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 120·1000/490.9 = 244.5 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 244.5/100000 = 0.002445 = 2445 µε
答え
ε = 2445 µε
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 197.9 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·2199 = 2.827 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0007) = 0.0007 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0007·2.827 × 10⁸ = 197920 N = 197.9 kN
答え
Pmax = 197.9 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 19.28 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·4000 = 8000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/8000² = 19277 N = 19.28 kN
答え
Pcr = 19.28 kN
10.柱の座屈
答え: d = 63.37 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·125000 = 250000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 63.37 mm
答え
d = 63.37 mm
確認：細長比 KL/r は 157.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.4994
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·150) = 3464 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 1730/3464 = 0.4994
答え
ζ = 0.4994
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: keq = 4.167 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/25 + 1/5 → keq = 25·5/(25 + 5) = 4.167 kN/m
答え
keq = 4.167 kN/m
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