歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 100 mm のプーリが 1500 rpm で回り、滑り 3 % のベルトで直径 300 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 1500 rpmd1 = 100 mmd2 = 300 mms = 3 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
1450 rpm の 15 kW のモータが歯車 A（歯数 36）を駆動し、A は歯車 B（歯数 80）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 18）が出力軸の歯車 D（歯数 30）を駆動する。各かみ合いの効率は 98% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 15 kWnin = 1450 rpmA = 36B = 80C = 18D = 30ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中空軸（外径 30 mm、内径 23 mm、長さ 0.8 m）が一端で固定され、他端でトルク 200 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·mdo = 30 mmdi = 23 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 300 rpm で 20 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 100 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = 30 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 100 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −50 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −30 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = −50 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPa
σvM = MPa
7.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 20 kNd = 20 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 80 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
200 kg の質量が、ばね定数 25 kN/m のばねと、減衰係数 2680 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 200 kgk = 25 kN/mc = 2680 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 40 kN/m、k₂ = 50 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 40 kgk1 = 40 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 485 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
1500·100/300 = 500 rpm
滑りあり
n2 = 500·0.97 = 485 rpm
答え
n2 = 485 rpm
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 351.4 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 1450·(36/80)·(18/30) = 391.5 rpm
ωout = 2π·391.5/60 = 41 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 15000·0.98² = 14406 W
Tout = Pout/ωout = 14406/41 = 351.4 N·m
答え
Tout = 351.4 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 4.516 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴
ねじれ角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·800/(39000·52048) = 0.07882 rad
φ = 0.07882·180/π = 4.516°
答え
φ = 4.516°
4.軸のねじり
答え: d = 43.28 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 20000/31.42 = 636.6 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·636620/(π·40)) = 43.28 mm
答え
d = 43.28 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 71.59 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 35 MPa, R = √(65² + 30²) = 71.59 MPa
σ1 = 106.6 MPa, σ2 = −36.59 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(143.2, 106.6, 36.59)/2 = 71.59 MPa
答え
τabs = 71.59 MPa
ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 67.82 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −35 MPa, R = 33.54 MPa
σ1 = −1.459 MPa, σ2 = −68.54 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √((−1.459)² − (−1.459)·(−68.54) + (−68.54)²) = 67.82 MPa
答え
σvM = 67.82 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 909.5 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 20·1000/314.2 = 63.66 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 63.66/70000 = 0.0009095 = 909.5 µε
答え
ε = 909.5 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 37.85 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 80000·691150/1.162 × 10⁶ = 47568 N
応力
σ2 = 47568/1257 = 37.85 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 37.85 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 86.82 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·2000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86.82 kN
答え
Pcr = 86.82 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 69.94 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/12.5 = 168
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69.94 MPa
答え
σcr = 69.94 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.5993
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(25000·200) = 4472 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 2680/4472 = 0.5993
答え
ζ = 0.5993
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: keq = 90 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 40 + 50 = 90 kN/m
答え
keq = 90 kN/m
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