歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 11 kW のモータが歯数 24 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 60 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 11 kWn1 = 1440 rpmN1 = 24N2 = 60η = 100%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 15）が 1440 rpm で回転し、歯車 B（歯数 24）を駆動する。歯車 C（歯数 30）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 750 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 1440 rpmA = 15B = 24C = 30nout = 750 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
長さ 1.2 m の黄銅製の中実軸がトルク 200 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 200 N·mL = 1.2 mG = 39 GPaφallow = 1°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
鋼製の中実軸が 1450 rpm で 10 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.25° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 1450 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −10 MPa、σᵧ = 100 MPa である。最大主応力が 125 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = −10 MPaσy = 100 MPaσ1 = 125 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 50 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 45° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 50 MPaσy = −80 MPaτxy = 50 MPaθ = 45°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 105 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
8 kg の質量が、ばね定数 20 kN/m のばねと、減衰係数 200 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 8 kgk = 20 kN/mc = 200 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 50 kN/m、下のばねは k₂ = 100 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 50 kgk1 = 50 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 72.95 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/150.8 = 72.95 N·m
答え
T1 = 72.95 N·m
2.歯車と歯車列
答え: ND = 36
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中間軸の回転速度
nB = nC = 1440·15/24 = 900 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 30·900/750 = 36
答え
ND = 36
3.軸のねじり
答え: d = 43.53 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(39000·0.01745) = 352589 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 43.53 mm
答え
d = 43.53 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: d = 37.23 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 10000/151.8 = 65.86 N·m
強度から決まる直径
T = 65.86 N·m = 65857 N·mm
dτ = ∛(16·65857/(π·75)) = 16.48 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·65857/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 37.23 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(16.48, 37.23) = 37.23 mm
答え
d = 37.23 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 58.09 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (−10 + 100)/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 125 − 45 = 80 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 55²) = 58.09 MPa
答え
τxy = 58.09 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 35 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −15 + 65·0 + 50·1 = 35 MPa
答え
σθ = 35 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.305 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 105·1000/706.9 = 148.5 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 148.5/70000 = 0.002122 = 2122 µε
伸び
δ = ε·L = 0.002122·2500 mm = 5.305 mm
答え
δ = 5.305 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 18.35 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 110000·1963/200 = 1.08 × 10⁶ N/mm
区間 2 の分担
F2 = 50000·1.08 × 10⁶/1.499 × 10⁶ = 36026 N
応力
σ2 = 36026/1963 = 18.35 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 18.35 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 3.052 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3.052 kN
答え
Pcr = 3.052 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 12.34 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/7.5 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答え
σcr = 12.34 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.25
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·8) = 800 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 200/800 = 0.25
答え
ζ = 0.25
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: keq = 33.33 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/50 + 1/100 → keq = 50·100/(50 + 100) = 33.33 kN/m
答え
keq = 33.33 kN/m
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