歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 160 mm のプーリが 720 rpm で回り、滑り 1 % のベルトで直径 315 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 720 rpmd1 = 160 mmd2 = 315 mms = 1 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 16）が 2880 rpm で回転し、歯車 B（歯数 80）を駆動する。歯車 C（歯数 36）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 518.4 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 2880 rpmA = 16B = 80C = 36nout = 518.4 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 25 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 20 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 20 kWN = 500 rpmdo = 80 mmdi = 48 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 0 MPaσy = −80 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 400 mm、肉厚 6 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 0.8 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 25° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 400 mmt = 6 mmp = 0.8 MPaα = 25°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 55 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 200 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 60 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 2 kN/m のばねにつながれた 15 kg の質量に、減衰比 0.4 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 15 kgk = 2 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 20 kN/m、k₂ = 20 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 10 kgk1 = 20 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 362.1 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
720·160/315 = 365.7 rpm
滑りあり
n2 = 365.7·0.99 = 362.1 rpm
答え
n2 = 362.1 rpm
2.歯車と歯車列
答え: ND = 40
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中間軸の回転速度
nB = nC = 2880·16/80 = 576 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 36·576/518.4 = 40
答え
ND = 40
3.軸のねじり
答え: φ = 15.32 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(39000·38350) = 0.2674 rad
φ = 0.2674·180/π = 15.32°
答え
φ = 15.32°
4.軸のねじり
答え: τmax = 4.365 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m
断面二次極モーメント
J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3.5 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 381972·40/3.5 × 10⁶ = 4.365 MPa
答え
τmax = 4.365 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 64.03 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((0 − −80)/2)² + 50²) = 64.03 MPa
答え
τmax = 64.03 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 24.29 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 0.8·200/6 = 26.67 MPa
σa = pr/(2t) = 13.33 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 13.33·sin²25° + 26.67·cos²25° = 24.29 MPa
答え
σn = 24.29 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1945 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 55·1000/706.9 = 77.81 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 77.81/200000 = 0.000389 = 389 µε
伸び
δ = ε·L = 0.000389·500 mm = 0.1945 mm
答え
δ = 0.1945 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 18.63 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 100000·1963/200 = 981748 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 60000·981748/1.61 × 10⁶ = 36585 N
応力
σ2 = 36585/1963 = 18.63 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 18.63 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 27.54 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1400² = 27538 N = 27.54 kN
答え
Pcr = 27.54 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 12.34 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/6.25 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答え
σcr = 12.34 MPa
11.機械振動
答え: fd = 1.684 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(2000/15) = 11.55 rad/s
fn = 11.55/(2π) = 1.838 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.838·√(1 − 0.4²) = 1.684 Hz
答え
fd = 1.684 Hz
12.機械振動
答え: keq = 40 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 20 + 20 = 40 kN/m
答え
keq = 40 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design