歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 200 mm のプーリが 1500 rpm で回り、滑り 3 % のベルトで直径 500 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 1500 rpmd1 = 200 mmd2 = 500 mms = 3 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 18）が 3000 rpm で回転し、歯車 B（歯数 20）を駆動する。歯車 C（歯数 18）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 1080 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 3000 rpmA = 18B = 20C = 18nout = 1080 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 1500 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 1500 N·mdi/do = 0.75τallow = 40 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 300 rpm で 50 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 50 kWN = 300 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 20 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = −20 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 20 MPaσy = 70 MPaτxy = −20 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 60 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 60° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 60 MPaσy = 60 MPaτxy = −50 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 40 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 70 kN区間 1：Ø40 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 70 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 70 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
150 kg の質量が、ばね定数 50 kN/m のばねと、減衰係数 1370 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 150 kgk = 50 kN/mc = 1370 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 15 kN/m、k₂ = 15 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 15 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 582 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
1500·200/500 = 600 rpm
滑りあり
n2 = 600·0.97 = 582 rpm
答え
n2 = 582 rpm
2.歯車と歯車列
答え: ND = 45
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中間軸の回転速度
nB = nC = 3000·18/20 = 2700 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 18·2700/1080 = 45
答え
ND = 45
3.軸のねじり
答え: do = 65.37 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·40·0.6836)) = 65.37 mm
di = 0.75·65.37 = 49.03 mm
答え
do = 65.37 mm
中実軸なら d = 57.59 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: d = 51.31 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·60)) = 51.31 mm
答え
d = 51.31 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 38.51 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 45 MPa, R = √((−25)² + (−20)²) = 32.02 MPa
σ1 = 77.02 MPa, σ2 = 12.98 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(64.03, 77.02, 12.98)/2 = 38.51 MPa
答え
τabs = 38.51 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 16.7 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 60 + 0·−0.5 + −50·0.866 = 16.7 MPa
答え
σθ = 16.7 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.546 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 40·1000/78.54 = 509.3 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 509.3/100000 = 0.005093 = 5093 µε
伸び
δ = ε·L = 0.005093·500 mm = 2.546 mm
答え
δ = 2.546 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.779 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 55.7 MPa
σ2 = 348.2 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 55.7·2000/200000 = 0.557 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 348.2·1500/100000 = 5.222 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.779 mm
答え
δ = 5.779 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 16.06 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·4000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/4000² = 16064 N = 16.06 kN
答え
Pcr = 16.06 kN
10.柱の座屈
答え: d = 66.46 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·70000 = 210000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66.46 mm
答え
d = 66.46 mm
確認：細長比 KL/r は 180.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.2501
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·150) = 5477 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 1370/5477 = 0.2501
答え
ζ = 0.2501
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 12.33 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 15 + 15 = 30 kN/m
固有振動数
ωn = √(30000/5) = 77.46 rad/s
fn = 77.46/(2π) = 12.33 Hz
答え
fn = 12.33 Hz
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