歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm の 0.37 kW のモータが条数 3 のウォームを駆動する。ウォームホイールの歯数は 45、伝動効率は 55% である。ホイール軸の出力トルク Tw を求めよ。
z = 3Nw = 45n = 1450 rpmP = 0.37 kWη = 55%
Tw = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
1440 rpm の 5.5 kW のモータが歯車 A（歯数 24）を駆動し、A は歯車 B（歯数 50）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 36）が出力軸の歯車 D（歯数 48）を駆動する。各かみ合いの効率は 95% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 5.5 kWnin = 1440 rpmA = 24B = 50C = 36D = 48ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
黄銅製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 40 mm、長さ 1.2 m、区間 BC は直径 25 mm、長さ 2 m である。自由端 C にトルク 200 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 200 N·md1 = 40 mm, L1 = 1.2 md2 = 25 mm, L2 = 2 mG = 39 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 750 rpm で 30 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 30 kWN = 750 rpmdo = 75 mmdi = 53 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 90 MPa、σᵧ = −60 MPa である。最大主応力が 145 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 90 MPaσy = −60 MPaσ1 = 145 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 20 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 300 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 20 MPaσy = −30 MPaτxy = −40 MPaσY = 300 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 250 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 250 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 105 kN区間 1：Ø25 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
10 kg の質量が、ばね定数 15 kN/m のばねと、減衰係数 190 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 10 kgk = 15 kN/mc = 190 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 30 kN/m、下のばねは k₂ = 80 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 30 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Tw = 20.1 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 1450·3/45 = 96.67 rpm
出力トルク
ωw = 2π·96.67/60 = 10.12 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.55·370/10.12 = 20.1 N·m
答え
Tw = 20.1 N·m
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 91.44 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 1440·(24/50)·(36/48) = 518.4 rpm
ωout = 2π·518.4/60 = 54.29 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 5500·0.95² = 4964 W
Tout = Pout/ωout = 4964/54.29 = 91.44 N·m
答え
Tout = 91.44 N·m
3.軸のねじり
答え: φC = 16.73 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
J2 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 200000·1200/(39000·251327) = 0.02449 rad
φBC = 200000·2000/(39000·38350) = 0.2674 rad
全ねじれ角
φC = 0.02449 + 0.2674 = 0.2919 rad = 16.73°
答え
φC = 16.73°
4.軸のねじり
答え: τmax = 6.143 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 381972·37.5/2.332 × 10⁶ = 6.143 MPa
答え
τmax = 6.143 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 106.2 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (90 + (−60))/2 = 15 MPa
R = σ1 − C = 145 − 15 = 130 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(130² − 75²) = 106.2 MPa
答え
τxy = 106.2 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 3.665
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −5 MPa, R = 47.17 MPa
σ1 = 42.17 MPa, σ2 = −52.17 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(42.17² − 42.17·(−52.17) + (−52.17)²) = 81.85 MPa
n = 300/81.85 = 3.665
答え
n = 3.665
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.3386 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·3063 = 3.691 × 10⁸ N
縮み
δ = 250000·500/3.691 × 10⁸ = 0.3386 mm
答え
δ = 0.3386 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 522.2 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 213.9 MPa
σ2 = 522.2 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 522.2 MPa
答え
σmax = 522.2 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 84.22 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2500 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2500² = 84221 N = 84.22 kN
答え
Pcr = 84.22 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 7.676 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7.676 MPa
答え
σcr = 7.676 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.2453
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·10) = 774.6 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 190/774.6 = 0.2453
答え
ζ = 0.2453
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 10.51 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/30 + 1/80 → keq = 30·80/(30 + 80) = 21.82 kN/m
固有振動数
ωn = √(21818/5) = 66.06 rad/s
fn = 66.06/(2π) = 10.51 Hz
答え
fn = 10.51 Hz
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