機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

直径 150 mm のプーリが 1450 rpm で回り、滑り 1.5 % のベルトで直径 400 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n₂ を求めなさい。

n₁ = 1450 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 400 mms = 1.5 %

n₂ = rpm

2.歯車と歯車列むずかしい

平行掛けのベルトが、200 rpm の直径 1450 mm の駆動プーリと直径 300 mm のプーリをつなぎ、中心は 500 mm 離れています。摩擦係数は 0.35 で、張り側の張力は 500 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。

d₁ = 200 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 300 mmC = 500 mmμ = 0.35T₁ = 500 N

P = kW

3.軸のねじりふつう

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 400 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

アルミニウム製の中実軸が 750 rpm で 50 kW を伝達する。せん断応力は 50 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.5° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

ある点で σₓ = 30 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θ_s を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σ_x = 30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

直径 50 mm の中実軸が軸圧縮力 170 kNとトルク 1500 N·m を同時に受ける。軸の表面で、最大主応力 σ₁ を求めよ。

d = 50 mmF = −170 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.軸応力とひずみふつう

鋼の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、銅でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 120 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 200 kN によって一緒に圧縮されます。縮み δ を求めなさい。

P = 200 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.軸応力とひずみむずかしい

鋼の区間（直径 25 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、銅でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 40 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ₂ を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.機械振動ふつう

ばね定数 100 kN/m のばねにつながれた 150 kg の質量に、減衰比 0.6 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 f_d を Hz で求めよ。

m = 150 kgk = 100 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.機械振動むずかしい

25 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 10 kN/m、k₂ = 50 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 f_n を Hz で求めよ。

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: n₂ = 535.6 rpm

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = e^μθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

滑りなしの回転速度

1450·150/400 = 543.8 rpm

滑りあり

n₂ = 543.8·0.985 = 535.6 rpm

答え

n₂ = 535.6 rpm

2.歯車と歯車列

答え: P = 4.88 kW

巻き付け角

θ = 2.941 rad

緩み側の張力

e^μθ = e^1.029 = 2.799, T₂ = 500/2.799 = 178.6 N

電力

P = (500 − 178.6)·15.18 = 4.88 kW

答え

P = 4.88 kW

3.軸のねじり

答え: φ = 18.39 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(26000·38350) = 0.3209 rad

φ = 0.3209·180/π = 18.39°

答え

φ = 18.39°

4.軸のねじり

答え: d = 73.12 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

強度から決まる直径

T = 636.6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·50)) = 40.18 mm

剛性から決まる直径

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 73.12 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(40.18, 73.12) = 73.12 mm

答え

d = 73.12 mm

ここでは剛性で決まります。

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θ_s = −82.98 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θ_s = −20/20.62 = −0.9701, sin 2θ_s = −5/20.62 = −0.2425

2θ_s = atan2(−5, −20) = −166°

要素上の角度

θ_s = −82.98°

確認: θ_s − θ_p = −82.98 − (−37.98) = −45°

答え

θ_s = −82.98°

反時計回りの角度を正とします。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ₁ = 31.6 MPa

表面の応力

σ = F/A = −170000/(π·50²/4) = −170000/1963 = −86.58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61.12 MPa

モールの応力円

C = σ/2 = −43.29 MPa

R = √((−43.29)² + 61.12²) = 74.89 MPa

σ₁ = C + R = 31.6 MPa

σ₂ = C − R = −118.2 MPa

答え

σ₁ = 31.6 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.07403 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·8482 = 1.081 × 10⁹ N

縮み

δ = 200000·400/1.081 × 10⁹ = 0.07403 mm

答え

δ = 0.07403 mm

8.軸応力とひずみ

答え: σ₂ = 28.81 MPa

剛性

k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·706.9/500 = 169646 N/mm

区間 2 の分担

F₂ = 40000·169646/333271 = 20361 N

応力

σ₂ = 20361/706.9 = 28.81 MPa （圧縮）

答え

σ₂ = 28.81 MPa

9.柱の座屈

答え: P_cr = 27.56 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1500 = 3000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN

答え

P_cr = 27.56 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 17.27 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

答え

σ_cr = 17.27 MPa

11.機械振動

答え: f_d = 3.287 Hz

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

減衰のない固有振動数

ω_n = √(100000/150) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

減衰固有振動数

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.109·√(1 − 0.6²) = 3.287 Hz

答え

f_d = 3.287 Hz

12.機械振動

答え: f_n = 7.797 Hz

等価ばね定数

並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k₁ + k₂。

k_eq = 10 + 50 = 60 kN/m

固有振動数

ω_n = √(60000/25) = 48.99 rad/s

f_n = 48.99/(2π) = 7.797 Hz

答え

f_n = 7.797 Hz

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