歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2900 rpm で回転する 4 kW のモータが歯数 32 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 50 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 98% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 4 kWn1 = 2900 rpmN1 = 32N2 = 50η = 98%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 100 mm のプーリと直径 200 mm のプーリをつなぎ、その中心は 1200 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 100 mmd2 = 200 mmC = 1200 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 0.5 m の B にトルク 400 N·m が作用し、さらに 0.5 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 1500 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 30 mmTB = 400 N·mTC = 1500 N·mAB = 0.5 mBC = 0.5 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 0 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = 10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 0 MPaσy = −50 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 50 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 300 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 50 MPaσy = −60 MPaτxy = 20 MPaσY = 300 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 80 kN/m のばねにつながれた 250 kg の質量に、減衰比 0.7 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 250 kgk = 80 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 40 kN/m、k₂ = 80 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 20 kgk1 = 40 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 13.17 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/303.7 = 13.17 N·m
答え
T1 = 13.17 N·m
2.歯車と歯車列
答え: θ = 175.2 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.04167) = 2.388°
巻き付け角
θ = 180 − 2·2.388 = 175.2°
答え
θ = 175.2°
3.軸のねじり
答え: φ = 1.077 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(26000·613592) = 0.0188 rad
φ = 0.0188·180/π = 1.077°
答え
φ = 1.077°
4.軸のねじり
答え: τmax = 282.9 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC − TB = 1500 − 400 = 1100 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 1500 N·m
τmax = 16·1.5 × 10⁶/(π·30³) = 282.9 MPa
答え
τmax = 282.9 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 26.93 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = −25 MPa, R = √(25² + 10²) = 26.93 MPa
σ1 = 1.926 MPa, σ2 = −51.93 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(53.85, 1.926, 51.93)/2 = 26.93 MPa
答え
τabs = 26.93 MPa
ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.956
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −5 MPa, R = 58.52 MPa
σ1 = 53.52 MPa, σ2 = −63.52 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(53.52² − 53.52·(−63.52) + (−63.52)²) = 101.5 MPa
n = 300/101.5 = 2.956
答え
n = 2.956
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: P = 52.51 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1257) = 3.41 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/9.522 × 10⁻⁶ = 52510 N = 52.51 kN
答え
P = 52.51 kN
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 415.2 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6.919 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.0006, 0.0007273) = 0.0006 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.0006·6.919 × 10⁸ = 415161 N = 415.2 kN
答え
Pmax = 415.2 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 11.07 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2800² = 11074 N = 11.07 kN
答え
Pcr = 11.07 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 69.09 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/15 = 100
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa
答え
σcr = 69.09 MPa
11.機械振動
答え: fd = 2.033 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(80000/250) = 17.89 rad/s
fn = 17.89/(2π) = 2.847 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.847·√(1 − 0.7²) = 2.033 Hz
答え
fd = 2.033 Hz
12.機械振動
答え: keq = 120 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 40 + 80 = 120 kN/m
答え
keq = 120 kN/m
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