歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 2.2 kW のモータが歯数 12 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 60 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 97% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 2.2 kWn1 = 1450 rpmN1 = 12N2 = 60η = 97%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 150 mm のプーリと直径 500 mm のプーリをつなぎ、その中心は 600 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 150 mmd2 = 500 mmC = 600 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 100 kWN = 500 rpmdo = 50 mmdi = 35 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 70 MPa、σᵧ = 20 MPa である。最大主応力が 110 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 70 MPaσy = 20 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 70 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = −50 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 350 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 70 MPaσy = 80 MPaτxy = −50 MPaσY = 350 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、アルミニウム でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 85 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 85 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
15 kg の質量が、ばね定数 4 kN/m のばねと、減衰係数 240 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 15 kgk = 4 kN/mc = 240 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量がばね k₃ = 30 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 25 kN/m と k₂ = 25 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 25 kN/mk2 = 25 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 70.27 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/151.8 = 14.49 N·m
出力トルク
T2 = 14.49·60/12·0.97 = 70.27 N·m
答え
T2 = 70.27 N·m
2.歯車と歯車列
答え: θ = 146.1 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.2917) = 16.96°
巻き付け角
θ = 180 − 2·16.96 = 146.1°
答え
θ = 146.1°
3.軸のねじり
答え: φ = 10.81 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(80000·79522) = 0.1886 rad
φ = 0.1886·180/π = 10.81°
答え
φ = 10.81°
4.軸のねじり
答え: τmax = 102.4 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 1.91 × 10⁶·25/466269 = 102.4 MPa
答え
τmax = 102.4 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 60 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (70 + 20)/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 110 − 45 = 65 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 25²) = 60 MPa
答え
τxy = 60 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 3.046
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 75 MPa, R = 50.25 MPa
σ1 = 125.2 MPa, σ2 = 24.75 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(125.2² − 125.2·24.75 + 24.75²) = 114.9 MPa
n = 350/114.9 = 3.046
答え
n = 3.046
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: P = 47.12 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706.9) = 7.074 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/1.061 × 10⁻⁵ = 47124 N = 47.12 kN
答え
P = 47.12 kN
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 474.6 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·5890 = 5.537 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0008571) = 0.0008571 (アルミニウム)
最大荷重
Pmax = 0.0008571·5.537 × 10⁸ = 474605 N = 474.6 kN
答え
Pmax = 474.6 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 19.99 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1500² = 19991 N = 19.99 kN
答え
Pcr = 19.99 kN
10.柱の座屈
答え: d = 89.15 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·85000 = 170000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 89.15 mm
答え
d = 89.15 mm
確認：細長比 KL/r は 269.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.4899
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·15) = 489.9 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 240/489.9 = 0.4899
答え
ζ = 0.4899
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 4.873 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 25 + 25 = 50 kN/m
keq = 50·30/(50 + 30) = 18.75 kN/m
固有振動数
ωn = √(18750/20) = 30.62 rad/s
fn = 30.62/(2π) = 4.873 Hz
答え
fn = 4.873 Hz
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