歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
960 rpm で回転する 2.2 kW のモータが歯数 16 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 25 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 95% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 2.2 kWn1 = 960 rpmN1 = 16N2 = 25η = 95%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、2900 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 40）が歯車 B（歯数 45）を駆動する。歯車 C（歯数 20）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 40）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 2900 rpmA = 40B = 45C = 20D = 40
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中空軸（外径 75 mm、内径 53 mm、長さ 1.2 m）が一端で固定され、他端でトルク 1000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·mdo = 75 mmdi = 53 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 40 mm のアルミニウム製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1 m、B から 0.8 m の C にトルク 750 N·m が作用する。 断面 C の回転角 φC を度で求めよ。
d = 40 mmT0 = 750 N·ma = 1 mb = 0.8 mG = 26 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −80 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −80 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 50 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 460 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 50 MPaσy = 20 MPaτxy = −40 MPaσY = 460 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 400 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 115 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 115 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
25 kg の質量が、ばね定数 4 kN/m のばねと、減衰係数 90 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 25 kgk = 4 kN/mc = 90 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 5 kN/m、k₂ = 25 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 5 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 21.88 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/100.5 = 21.88 N·m
答え
T1 = 21.88 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nout = 1289 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 2900·40/45 = 2578 rpm = nC
第 2 段
nout = 2578·20/40 = 1289 rpm
答え
nout = 1289 rpm
全体の速比 = 2.25 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 1.134 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴
ねじれ角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1200/(26000·2.332 × 10⁶) = 0.01979 rad
φ = 0.01979·180/π = 1.134°
答え
φ = 1.134°
4.軸のねじり
答え: φC = 2.923 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0.8/1.8 = 333.3 N·m
TB = 750·1/1.8 = 416.7 N·m
C の回転角
区間 AC を使います：A で固定され、TA を受けます。
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 333333·1000/(26000·251327) = 0.05101 rad = 2.923°
答え
φC = 2.923°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 54.08 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−80 − 10)/2)² + 30²) = 54.08 MPa
答え
τmax = 54.08 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 5.62
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 35 MPa, R = 42.72 MPa
σ1 = 77.72 MPa, σ2 = −7.72 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(77.72² − 77.72·(−7.72) + (−7.72)²) = 81.85 MPa
n = 460/81.85 = 5.62
答え
n = 5.62
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: P = 89.7 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2.037 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/5.574 × 10⁻⁶ = 89703 N = 89.7 kN
答え
P = 89.7 kN
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 474.8 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5890 = 7.461 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0006364) = 0.0006364 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0006364·7.461 × 10⁸ = 474809 N = 474.8 kN
答え
Pmax = 474.8 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 28.2 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/2800² = 28199 N = 28.2 kN
答え
Pcr = 28.2 kN
10.柱の座屈
答え: d = 71.89 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·115000 = 287500 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 71.89 mm
答え
d = 71.89 mm
確認：細長比 KL/r は 166.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1423
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·25) = 632.5 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 90/632.5 = 0.1423
答え
ζ = 0.1423
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 6.164 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 5 + 25 = 30 kN/m
固有振動数
ωn = √(30000/20) = 38.73 rad/s
fn = 38.73/(2π) = 6.164 Hz
答え
fn = 6.164 Hz
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