歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
条数 2 のウォームが 1450 rpm で回転し、歯数 36 のウォームホイールを駆動する。ホイールの回転速度 nw を求めよ。
z = 2Nw = 36n = 1450 rpm
nw = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
1450 rpm の 5.5 kW のモータが歯車 A（歯数 24）を駆動し、A は歯車 B（歯数 40）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 30）が出力軸の歯車 D（歯数 80）を駆動する。各かみ合いの効率は 98% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 5.5 kWnin = 1450 rpmA = 24B = 40C = 30D = 80ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 15 mm の中実試験片をトルク 40 N·m でねじる。標点距離 400 mm の両端は互いに 4.73° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 40 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 4.73°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1450 rpm で 15 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 1450 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 120 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −40 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 120 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 800 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 1.2 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 30° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目に沿って作用するせん断応力の大きさ |τn| を求めよ。
D = 800 mmt = 5 mmp = 1.2 MPaα = 30°
|τn| = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 250 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 250 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 50 kN区間 1：Ø35 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
15 kg の質量が、ばね定数 15 kN/m のばねと、減衰係数 380 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 15 kgk = 15 kN/mc = 380 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量がばね k₃ = 25 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 40 kN/m と k₂ = 80 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 100 kgk1 = 40 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: nw = 80.56 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 1450·2/36 = 80.56 rpm
答え
nw = 80.56 rpm
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 154.6 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 1450·(24/40)·(30/80) = 326.3 rpm
ωout = 2π·326.3/60 = 34.16 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 5500·0.98² = 5282 W
Tout = Pout/ωout = 5282/34.16 = 154.6 N·m
答え
Tout = 154.6 N·m
3.軸のねじり
答え: G = 39 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 4.73·π/180 = 0.08255 rad
横弾性係数
T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·400/(4970·0.08255) = 38996 MPa
G = 39 GPa
答え
G = 39 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 21.59 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·98786/(π·50)) = 21.59 mm
答え
d = 21.59 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 75.62 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 110 MPa, R = √(10² + (−40)²) = 41.23 MPa
σ1 = 151.2 MPa, σ2 = 68.77 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(82.46, 151.2, 68.77)/2 = 75.62 MPa
答え
τabs = 75.62 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: |τn| = 20.78 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 1.2·400/5 = 96 MPa
σa = pr/(2t) = 48 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
|τn| = (96 − 48)·sin 30°·cos 30° = 20.78 MPa
答え
|τn| = 20.78 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.4597 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·3063 = 4.351 × 10⁸ N
縮み
δ = 250000·800/4.351 × 10⁸ = 0.4597 mm
答え
δ = 0.4597 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 159.2 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 51.97 MPa
σ2 = 159.2 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 159.2 MPa
答え
σmax = 159.2 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 86.82 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·4000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86.82 kN
答え
Pcr = 86.82 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 11.05 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/20 = 250
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa
答え
σcr = 11.05 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.4006
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·15) = 948.7 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 380/948.7 = 0.4006
答え
ζ = 0.4006
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 2.289 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 40 + 80 = 120 kN/m
keq = 120·25/(120 + 25) = 20.69 kN/m
固有振動数
ωn = √(20690/100) = 14.38 rad/s
fn = 14.38/(2π) = 2.289 Hz
答え
fn = 2.289 Hz
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