歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1500 rpm で回転する 11 kW のモータが歯数 18 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 50 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 96% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 11 kWn1 = 1500 rpmN1 = 18N2 = 50η = 96%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、2900 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 18）が歯車 B（歯数 48）を駆動する。歯車 C（歯数 72）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 80）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 2900 rpmA = 18B = 48C = 72D = 80
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 400 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.8 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 400 N·mdi/do = 0.8τallow = 40 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 1.5 m の B にトルク 100 N·m が作用し、さらに 1 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 250 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 50 mmTB = 100 N·mTC = 250 N·mAB = 1.5 mBC = 1 mG = 39 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 110 MPa、σᵧ = 50 MPa である。最大主応力が 135 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 110 MPaσy = 50 MPaσ1 = 135 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −40 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −40 MPaσy = −70 MPaτxy = 50 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、アルミニウム でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 70 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 40 kN/m のばねにつながれた 250 kg の質量に、減衰比 0.3 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 250 kgk = 40 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 12 kN/m、下のばねは k₂ = 5 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 70.03 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/157.1 = 70.03 N·m
答え
T1 = 70.03 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nout = 978.8 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 2900·18/48 = 1088 rpm = nC
第 2 段
nout = 1088·72/80 = 978.8 rpm
答え
nout = 978.8 rpm
全体の速比 = 2.963 : 1
3.軸のねじり
答え: do = 44.18 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·40·0.5904)) = 44.18 mm
di = 0.8·44.18 = 35.35 mm
答え
do = 44.18 mm
中実軸なら d = 37.07 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: φC = 1.137 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 100 = 150 N·m
各区間のねじれ角
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 150000·1500/(39000·613592) = 0.009402 rad
φBC = 250000·1000/(39000·613592) = 0.01045 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.009402 + 0.01045 = 0.01985 rad → |φC| = 1.137°
答え
φC = 1.137°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 46.1 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (110 + 50)/2 = 80 MPa
R = σ1 − C = 135 − 80 = 55 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 30²) = 46.1 MPa
答え
τxy = 46.1 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −3.155 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −55 + 15·0.1736 + 50·0.9848 = −3.155 MPa
答え
σθ = −3.155 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 140.1 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1.447 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/3.569 × 10⁻⁶ = 140098 N = 140.1 kN
答え
P = 140.1 kN
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 295.3 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·2199 = 2.953 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.001, 0.001143) = 0.001 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.001·2.953 × 10⁸ = 295310 N = 295.3 kN
答え
Pmax = 295.3 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 19.62 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·4000 = 8000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/8000² = 19621 N = 19.62 kN
答え
Pcr = 19.62 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 8.567 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa
答え
σcr = 8.567 MPa
11.機械振動
答え: fd = 1.92 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(40000/250) = 12.65 rad/s
fn = 12.65/(2π) = 2.013 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.013·√(1 − 0.3²) = 1.92 Hz
答え
fd = 1.92 Hz
12.機械振動
答え: keq = 3.529 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/12 + 1/5 → keq = 12·5/(12 + 5) = 3.529 kN/m
答え
keq = 3.529 kN/m
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