歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2900 rpm で回転する 2.2 kW のモータが歯数 16 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 36 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 98% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 2.2 kWn1 = 2900 rpmN1 = 16N2 = 36η = 98%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、100 rpm の直径 1440 mm の駆動プーリと直径 300 mm のプーリをつなぎ、中心は 500 mm 離れています。摩擦係数は 0.3 で、張り側の張力は 2000 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 100 mmn1 = 1440 rpmd2 = 300 mmC = 500 mmμ = 0.3T1 = 2000 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 200 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 200 N·mdi/do = 0.75τallow = 80 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1450 rpm で 10 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 10 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.5τallow = 80 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −20 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −20 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 140 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 30° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 140 MPaσy = 10 MPaτxy = −30 MPaθ = -30°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 600 mm で、剛な板の間で 50 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 50 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 90 kN区間 1：Ø25 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 50 mm の 5 周期後に 1.1 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 50 mmx5 = 1.1 mmn = 5
ζ =
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 40 kN/m、下のばねは k₂ = 5 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 100 kgk1 = 40 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 15.97 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/303.7 = 7.244 N·m
出力トルク
T2 = 7.244·36/16·0.98 = 15.97 N·m
答え
T2 = 15.97 N·m
2.歯車と歯車列
答え: P = 8.449 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.739 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.8217 = 2.274, T₂ = 2000/2.274 = 879.4 N
電力
P = (2000 − 879.4)·7.54 = 8.449 kW
答え
P = 8.449 kW
3.軸のねじり
答え: do = 26.51 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·80·0.6836)) = 26.51 mm
di = 0.75·26.51 = 19.88 mm
答え
do = 26.51 mm
中実軸なら d = 23.35 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: do = 16.48 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 10000/151.8 = 65.86 N·m
許容応力からの外径
T = 65.86 N·m = 65857 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·65857/(π·80·0.9375)) = 16.48 mm
di = 0.5·16.48 = 8.238 mm
答え
do = 16.48 mm
中実軸なら d = 16.12 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −70.1 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−50, −20 − 100) = −140.2°
要素上の角度
θp = −70.1°
答え
θp = −70.1°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 41.29 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −65·−0.866 + −30·0.5 = 41.29 MPa
答え
τθ = 41.29 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.04021 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5890 = 7.461 × 10⁸ N
縮み
δ = 50000·600/7.461 × 10⁸ = 0.04021 mm
答え
δ = 0.04021 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 12.94 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 183.3 MPa
σ2 = 795.8 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 183.3·1000/117000 = 1.567 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 795.8·1000/70000 = 11.37 mm
δ = δ1 + δ2 = 12.94 mm
答え
δ = 12.94 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 19.99 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·6000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/6000² = 19991 N = 19.99 kN
答え
Pcr = 19.99 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 12.34 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/15 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答え
σcr = 12.34 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.1206
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/5)·ln(50/1.1) = 0.7633
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7633/√(39.48 + 0.5827) = 0.1206
答え
ζ = 0.1206
12.機械振動
答え: keq = 4.444 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/40 + 1/5 → keq = 40·5/(40 + 5) = 4.444 kN/m
答え
keq = 4.444 kN/m
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