歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
960 rpm で回転する 1.5 kW のモータが、歯数 20、モジュール 2.5 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 1.5 kWn = 960 rpmN1 = 20m = 2.5 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
960 rpm の 4 kW のモータが歯車 A（歯数 20）を駆動し、A は歯車 B（歯数 60）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 16）が出力軸の歯車 D（歯数 72）を駆動する。各かみ合いの効率は 98% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 4 kWnin = 960 rpmA = 20B = 60C = 16D = 72ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 1500 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 1500 N·mdi/do = 0.5τallow = 80 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1500 rpm で 100 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 100 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −20 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 40°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −20 MPaσy = −80 MPaτxy = −20 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 70 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 250 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 70 MPaσy = −30 MPaτxy = −10 MPaσY = 250 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 150 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 150 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、銅 でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 120 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 20 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 20 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 20 mm の 4 周期後に 1 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 20 mmx4 = 1 mmn = 4
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 15 kN/m、k₂ = 10 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 15 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 596.8 N
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
ピニオンのトルク
ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T = P/ω = 1500/100.5 = 14.92 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 2.5·20 = 50 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·14.92/0.05 = 596.8 N
答え
Ft = 596.8 N
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 515.9 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
出力回転数
nout = 960·(20/60)·(16/72) = 71.11 rpm
ωout = 2π·71.11/60 = 7.447 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 4000·0.98² = 3842 W
Tout = Pout/ωout = 3842/7.447 = 515.9 N·m
答え
Tout = 515.9 N·m
3.軸のねじり
答え: do = 46.7 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·80·0.9375)) = 46.7 mm
di = 0.5·46.7 = 23.35 mm
答え
do = 46.7 mm
中実軸なら d = 45.71 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: d = 34.35 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34.35 mm
答え
d = 34.35 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = −35.51 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −50 − 30·0.1736 − (−20)·0.9848 = −35.51 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −64.49 MPa, σx′ + σy′ = −100 = σx + σy
答え
σy′ = −35.51 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.761
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 20 MPa, R = 50.99 MPa
σ1 = 70.99 MPa, σ2 = −30.99 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(70.99² − 70.99·(−30.99) + (−30.99)²) = 90.55 MPa
n = 250/90.55 = 2.761
答え
n = 2.761
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1392 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·4006 = 5.388 × 10⁸ N
縮み
δ = 150000·500/5.388 × 10⁸ = 0.1392 mm
答え
δ = 0.1392 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 286.9 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·3063 = 4.304 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0006667) = 0.0006667 (銅)
最大荷重
Pmax = 0.0006667·4.304 × 10⁸ = 286932 N = 286.9 kN
答え
Pmax = 286.9 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 4.205 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4.205 kN
答え
Pcr = 4.205 kN
10.柱の座屈
答え: d = 53.6 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 53.6 mm
答え
d = 53.6 mm
確認：細長比 KL/r は 298.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1184
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/4)·ln(20/1) = 0.7489
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7489/√(39.48 + 0.5609) = 0.1184
答え
ζ = 0.1184
12.機械振動
答え: fn = 5.627 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 15 + 10 = 25 kN/m
固有振動数
ωn = √(25000/20) = 35.36 rad/s
fn = 35.36/(2π) = 5.627 Hz
答え
fn = 5.627 Hz
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