歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 93.75 mm である。これらをモジュール 2.5 mm、減速比 2 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 歯車の歯数 N2 はいくつ必要か。
a = 93.75 mmm = 2.5 mmi = 2
N2 =
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、960 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 15）が歯車 B（歯数 16）を駆動する。歯車 C（歯数 15）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 16）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 960 rpmA = 15B = 16C = 15D = 16
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
黄銅製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 50 mm、長さ 0.5 m、区間 BC は直径 25 mm、長さ 1.5 m である。自由端 C にトルク 250 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 250 N·md1 = 50 mm, L1 = 0.5 md2 = 25 mm, L2 = 1.5 mG = 39 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 300 rpm で 50 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 50 kWN = 300 rpmdo = 40 mmdi = 32 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 140 MPa、σᵧ = 30 MPa である。最大主応力が 155 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 140 MPaσy = 30 MPaσ1 = 155 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 150 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 150 MPaσy = −70 MPaτxy = −10 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 600 mm で、剛な板の間で 80 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 80 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 200 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 150 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 150 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 50 kN/m のばねにつながれた 500 kg の質量に、減衰比 0.35 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 500 kgk = 50 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量がばね k₃ = 100 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 10 kN/m と k₂ = 15 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 10 kgk1 = 10 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N2 = 50
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·93.75/2.5 = 75
比で分ける
N1 = 75/(1 + 2) = 25
N2 = 2·25 = 50
答え
N2 = 50
2.歯車と歯車列
答え: nout = 843.8 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 960·15/16 = 900 rpm = nC
第 2 段
nout = 900·15/16 = 843.8 rpm
答え
nout = 843.8 rpm
全体の速比 = 1.138 : 1
3.軸のねじり
答え: φC = 14.67 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 250 N·m = 250000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 250000·500/(39000·613592) = 0.005224 rad
φBC = 250000·1500/(39000·38350) = 0.2507 rad
全ねじれ角
φC = 0.005224 + 0.2507 = 0.256 rad = 14.67°
答え
φC = 14.67°
4.軸のねじり
答え: τmax = 214.5 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m
断面二次極モーメント
J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 1.592 × 10⁶·20/148384 = 214.5 MPa
答え
τmax = 214.5 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 43.3 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (140 + 30)/2 = 85 MPa
R = σ1 − C = 155 − 85 = 70 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 55²) = 43.3 MPa
答え
τxy = 43.3 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 49.25 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 40 + 110·0.1736 + −10·0.9848 = 49.25 MPa
答え
σθ = 49.25 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1904 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·2199 = 2.521 × 10⁸ N
縮み
δ = 80000·600/2.521 × 10⁸ = 0.1904 mm
答え
δ = 0.1904 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 77.17 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 120000·706.9/200 = 424115 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 100000·424115/777544 = 54545 N
応力
σ2 = 54545/706.9 = 77.17 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 77.17 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 441 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN
答え
Pcr = 441 kN
10.柱の座屈
答え: d = 77.13 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·150000 = 300000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 77.13 mm
答え
d = 77.13 mm
確認：細長比 KL/r は 103.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 1.491 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(50000/500) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1.592 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.35²) = 1.491 Hz
答え
fd = 1.491 Hz
12.機械振動
答え: fn = 7.118 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 10 + 15 = 25 kN/m
keq = 25·100/(25 + 100) = 20 kN/m
固有振動数
ωn = √(20000/10) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
答え
fn = 7.118 Hz
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