歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 125 mm の駆動プーリ上を 1440 rpm で走っています。張力は張り側で 1000 N、緩み側で 400 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 125 mmn1 = 1440 rpmT1 = 1000 NT2 = 400 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、2900 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 32）が歯車 B（歯数 45）を駆動する。歯車 C（歯数 12）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 80）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 2900 rpmA = 32B = 45C = 12D = 80
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中空軸（外径 30 mm、内径 23 mm、長さ 0.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 2000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 2000 N·mdo = 30 mmdi = 23 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
アルミニウム製の中実軸が 300 rpm で 5 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 20 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 20°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 20 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPaθ = 20°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 50 mm の中実軸が軸圧縮力 110 kNとトルク 1000 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 50 mmF = −110 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
7.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 15 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 80 kN区間 1：Ø30 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
50 kg の質量が、ばね定数 100 kN/m のばねと、減衰係数 450 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 50 kgk = 100 kN/mc = 450 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 80 kN/m、下のばねは k₂ = 20 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 100 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 5.655 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 9.425 m/s
電力
P = (1000 − 400)·9.425 = 5655 W = 5.655 kW
答え
P = 5.655 kW
2.歯車と歯車列
答え: nout = 309.3 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 2900·32/45 = 2062 rpm = nC
第 2 段
nout = 2062·12/80 = 309.3 rpm
答え
nout = 309.3 rpm
全体の速比 = 9.375 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 13.76 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴
ねじれ角
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(80000·52048) = 0.2402 rad
φ = 0.2402·180/π = 13.76°
答え
φ = 13.76°
4.軸のねじり
答え: d = 46.72 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m
強度から決まる直径
T = 159.2 N·m = 159155 N·mm
dτ = ∛(16·159155/(π·75)) = 22.11 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·159155/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 46.72 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(22.11, 46.72) = 46.72 mm
答え
d = 46.72 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 80.19 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 65 − (−45)·0.766 − 30·0.6428 = 80.19 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 49.81 MPa, σx′ + σy′ = 130 = σx + σy
答え
σy′ = 80.19 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 21.43 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −110000/(π·50²/4) = −110000/1963 = −56.02 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·50³) = 40.74 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −28.01 MPa
R = √((−28.01)² + 40.74²) = 49.44 MPa
σ1 = C + R = 21.43 MPa
σ2 = C − R = −77.45 MPa
答え
σ1 = 21.43 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 436.5 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 15·1000/490.9 = 30.56 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 30.56/70000 = 0.0004365 = 436.5 µε
答え
ε = 436.5 µε
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 7.028 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 113.2 MPa
σ2 = 254.6 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 113.2·2000/117000 = 1.935 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 254.6·2000/100000 = 5.093 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.028 mm
答え
δ = 7.028 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 36.85 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1000² = 36847 N = 36.85 kN
答え
Pcr = 36.85 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 21.93 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/20 = 300
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa
答え
σcr = 21.93 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.1006
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·50) = 4472 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 450/4472 = 0.1006
答え
ζ = 0.1006
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 2.013 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/80 + 1/20 → keq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m
固有振動数
ωn = √(16000/100) = 12.65 rad/s
fn = 12.65/(2π) = 2.013 Hz
答え
fn = 2.013 Hz
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