歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 150 mm のプーリが 1500 rpm で回り、滑り 1.5 % のベルトで直径 315 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 1500 rpmd1 = 150 mmd2 = 315 mms = 1.5 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 45）が 1440 rpm で回転し、歯車 B（歯数 48）を駆動する。歯車 C（歯数 18）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 540 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 1440 rpmA = 45B = 48C = 18nout = 540 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 2000 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 2000 N·mdi/do = 0.7τallow = 60 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1800 rpm で 75 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 75 kWN = 1800 rpmdo = 60 mmdi = 36 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −80 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −80 MPaσy = 50 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 110 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 15° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 110 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPaθ = 15°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 40 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 70 kN区間 1：Ø35 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 25 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 25 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
2 kg の質量が、ばね定数 10 kN/m のばねと、減衰係数 10 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 2 kgk = 10 kN/mc = 10 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 60 kN/m、下のばねは k₂ = 12 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 60 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 703.6 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
1500·150/315 = 714.3 rpm
滑りあり
n2 = 714.3·0.985 = 703.6 rpm
答え
n2 = 703.6 rpm
2.歯車と歯車列
答え: ND = 45
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中間軸の回転速度
nB = nC = 1440·45/48 = 1350 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 18·1350/540 = 45
答え
ND = 45
3.軸のねじり
答え: do = 60.68 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·60·0.7599)) = 60.68 mm
di = 0.7·60.68 = 42.47 mm
答え
do = 60.68 mm
中実軸なら d = 55.37 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: τmax = 10.78 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 75000/188.5 = 397.9 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1.107 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 397887·30/1.107 × 10⁶ = 10.78 MPa
答え
τmax = 10.78 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 65.76 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−80 − 50)/2)² + −10²) = 65.76 MPa
答え
τmax = 65.76 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −62.14 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −55·0.5 + −40·0.866 = −62.14 MPa
答え
τθ = −62.14 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.653 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 40·1000/113.1 = 353.7 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 353.7/200000 = 0.001768 = 1768 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001768·1500 mm = 2.653 mm
答え
δ = 2.653 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 618.9 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 72.76 MPa
σ2 = 618.9 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 618.9 MPa
答え
σmax = 618.9 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 6.867 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6.867 kN
答え
Pcr = 6.867 kN
10.柱の座屈
答え: d = 53.02 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·25000 = 62500 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 53.02 mm
答え
d = 53.02 mm
確認：細長比 KL/r は 264.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.03536
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(10000·2) = 282.8 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 10/282.8 = 0.03536
答え
ζ = 0.03536
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 2.251 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/60 + 1/12 → keq = 60·12/(60 + 12) = 10 kN/m
固有振動数
ωn = √(10000/50) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz
答え
fn = 2.251 Hz
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