歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 125 mm のプーリが 1450 rpm で回り、滑り 3 % のベルトで直径 200 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 1450 rpmd1 = 125 mmd2 = 200 mms = 3 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1440 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 12）が歯車 B（歯数 16）を駆動する。歯車 C（歯数 24）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 50）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1440 rpmA = 12B = 16C = 24D = 50
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 75 mm、長さ 3 m、区間 BC は直径 60 mm、長さ 0.8 m である。自由端 C にトルク 400 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 400 N·md1 = 75 mm, L1 = 3 md2 = 60 mm, L2 = 0.8 mG = 80 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 5 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 5 kWN = 500 rpmdo = 60 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 120 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −60 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 120 MPaσy = 120 MPaτxy = −60 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 120 MPaσy = −70 MPaτxy = −60 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 100 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 75 kN区間 1：Ø35 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 50 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 50 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 15 mm の 3 周期後に 10.3 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 15 mmx3 = 10.3 mmn = 3
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量がばね k₃ = 12 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 80 kN/m と k₂ = 10 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 879.1 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
1450·125/200 = 906.3 rpm
滑りあり
n2 = 906.3·0.97 = 879.1 rpm
答え
n2 = 879.1 rpm
2.歯車と歯車列
答え: nout = 518.4 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1440·12/16 = 1080 rpm = nC
第 2 段
nout = 1080·24/50 = 518.4 rpm
答え
nout = 518.4 rpm
全体の速比 = 2.778 : 1
3.軸のねじり
答え: φC = 0.4568 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
各区間のねじれ角
T = 400 N·m = 400000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 400000·3000/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.004829 rad
φBC = 400000·800/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.003144 rad
全ねじれ角
φC = 0.004829 + 0.003144 = 0.007973 rad = 0.4568°
答え
φC = 0.4568°
4.軸のねじり
答え: τmax = 3.294 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 95493·30/869767 = 3.294 MPa
答え
τmax = 3.294 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 90 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 120 MPa, R = √(0² + (−60)²) = 60 MPa
σ1 = 180 MPa, σ2 = 60 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(120, 180, 60)/2 = 90 MPa
答え
τabs = 90 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 20.54 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 25 + 95·0.5 + −60·0.866 = 20.54 MPa
答え
σθ = 20.54 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 18189 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 100·1000/78.54 = 1273 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 1273/70000 = 0.01819 = 18189 µε
答え
ε = 18189 µε
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 6.152 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 77.95 MPa
σ2 = 373 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 77.95·500/70000 = 0.5568 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 373·1500/100000 = 5.595 mm
δ = δ1 + δ2 = 6.152 mm
答え
δ = 6.152 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 96.89 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2500 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96.89 kN
答え
Pcr = 96.89 kN
10.柱の座屈
答え: d = 69.28 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·50000 = 125000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 69.28 mm
答え
d = 69.28 mm
確認：細長比 KL/r は 144.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.01994
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/3)·ln(15/10.3) = 0.1253
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1253/√(39.48 + 0.0157) = 0.01994
答え
ζ = 0.01994
12.機械振動
答え: fn = 7.324 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 80 + 10 = 90 kN/m
keq = 90·12/(90 + 12) = 10.59 kN/m
固有振動数
ωn = √(10588/5) = 46.02 rad/s
fn = 46.02/(2π) = 7.324 Hz
答え
fn = 7.324 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design