機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

直径 125 mm のプーリが 1450 rpm で回り、滑り 2.5 % のベルトで直径 315 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n₂ を求めなさい。

n₁ = 1450 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 315 mms = 2.5 %

n₂ = rpm

2.歯車と歯車列むずかしい

複合歯車列において、2900 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 18）が歯車 B（歯数 20）を駆動する。歯車 C（歯数 12）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 16）を駆動する。出力回転速度 n_out を求めよ。

n_in = 2900 rpmA = 18B = 20C = 12D = 16

n_out = rpm

3.軸のねじりふつう

中空軸がトルク 250 N·m を受けなければならない。内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 d_o を求めよ。

T = 250 N·md_i/d_o = 0.75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.軸のねじりむずかしい

直径 30 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 1 m の B にトルク 500 N·m が作用し、さらに 2.5 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 400 N·m が作用する。軸の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

d = 30 mmT_B = 500 N·mT_C = 400 N·mAB = 1 mBC = 2.5 m

τ_max = MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。面内の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

σ_x = −50 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −80 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −60 MPa（σ_z = 0）。ミーゼス相当応力 σ_vM を求めよ。

σ_x = −80 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

7.軸応力とひずみふつう

鋼の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 600 mm で、剛な板の間で 80 kN によって一緒に圧縮されます。縮み δ を求めなさい。

P = 80 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.軸応力とひずみむずかしい

鋼の区間（直径 30 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウムでできた区間（直径 60 mm、長さ 500 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ₂ を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.機械振動ふつう

80 kg の質量が、ばね定数 8 kN/m のばねと、減衰係数 640 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。

m = 80 kgk = 8 kN/mc = 640 N·s/m

ζ =

12.機械振動むずかしい

40 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 30 kN/m、k₂ = 15 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。ばね系の等価ばね定数 k_eq を kN/m で求めよ。

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: n₂ = 561 rpm

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = e^μθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

滑りなしの回転速度

1450·125/315 = 575.4 rpm

滑りあり

n₂ = 575.4·0.975 = 561 rpm

答え

n₂ = 561 rpm

2.歯車と歯車列

答え: n_out = 1958 rpm

歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。

第 1 段

n_B = 2900·18/20 = 2610 rpm = n_C

第 2 段

n_out = 2610·12/16 = 1958 rpm

答え

n_out = 1958 rpm

全体の速比 = 1.481 : 1

3.軸のねじり

答え: d_o = 31.43 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

許容応力からの外径

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·60·0.6836)) = 31.43 mm

d_i = 0.75·31.43 = 23.57 mm

答え

d_o = 31.43 mm

中実軸なら d = 27.69 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

4.軸のねじり

答え: τ_max = 75.45 MPa

内部トルク

T_C の向きを正とする。

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 500 = −100 N·m

最大せん断応力

内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。

|T|_max = 400 N·m

τ_max = 16·400000/(π·30³) = 75.45 MPa

答え

τ_max = 75.45 MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_max = 25 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

モールの応力円の半径

τ_max = R = √(((−50 − −20)/2)² + −20²) = 25 MPa

答え

τ_max = 25 MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ_vM = 160 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σ_Y に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σ_Y/2 に達したときに降伏すると予測します。

主応力

C = −10 MPa, R = 92.2 MPa

σ₁ = 82.2 MPa, σ₂ = −102.2 MPa, σ₃ = 0

ミーゼス

σ_vM = √(82.2² − 82.2·(−102.2) + (−102.2)²) = 160 MPa

答え

σ_vM = 160 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.08909 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·4006 = 5.388 × 10⁸ N

縮み

δ = 80000·600/5.388 × 10⁸ = 0.08909 mm

答え

δ = 0.08909 mm

8.軸応力とひずみ

答え: σ₂ = 8.073 MPa

剛性

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

区間 2 の分担

F₂ = 50000·395841/867080 = 22826 N

応力

σ₂ = 22826/2827 = 8.073 MPa （圧縮）

答え

σ₂ = 8.073 MPa

9.柱の座屈

答え: P_cr = 269.2 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1500 = 1500 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269.2 kN

答え

P_cr = 269.2 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 4.318 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/6.25 = 400

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

答え

σ_cr = 4.318 MPa

11.機械振動

答え: ζ = 0.4

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

臨界減衰

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·80) = 1600 N·s/m

減衰比

ζ = c/c_c = 640/1600 = 0.4

答え

ζ = 0.4

ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。

12.機械振動

答え: k_eq = 45 kN/m

等価ばね定数

並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k₁ + k₂。

k_eq = 30 + 15 = 45 kN/m

答え

k_eq = 45 kN/m

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