歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 7.5 kW のモータが、歯数 18、モジュール 4 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 7.5 kWn = 1450 rpmN1 = 18m = 4 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、3000 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 32）が歯車 B（歯数 80）を駆動する。歯車 C（歯数 30）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 32）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 3000 rpmA = 32B = 80C = 30D = 32
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 10 mm の中実試験片をトルク 40 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 7.3° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 40 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 7.3°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 15 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −70 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 20°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −70 MPaσy = 30 MPaτxy = −30 MPaθ = 20°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 20 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −60 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = 20 MPaσy = −20 MPaτxy = −60 MPa
σvM = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 10 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 80 kN区間 1：Ø35 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 10 mm の 5 周期後に 0.8 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 10 mmx5 = 0.8 mmn = 5
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量がばね k₃ = 30 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 15 kN/m と k₂ = 50 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 15 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 1372 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
ピニオンのトルク
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 7500/151.8 = 49.39 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 4·18 = 72 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·49.39/0.072 = 1372 N
答え
Ft = 1372 N
2.歯車と歯車列
答え: nout = 1125 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 3000·32/80 = 1200 rpm = nC
第 2 段
nout = 1200·30/32 = 1125 rpm
答え
nout = 1125 rpm
全体の速比 = 2.667 : 1
3.軸のねじり
答え: G = 79.95 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 7.3·π/180 = 0.1274 rad
横弾性係数
T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·250/(981.7·0.1274) = 79947 MPa
G = 79.95 GPa
答え
G = 79.95 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 33.16 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·286479/(π·40)) = 33.16 mm
答え
d = 33.16 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 37.59 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −20 − (−50)·0.766 − (−30)·0.6428 = 37.59 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −77.59 MPa, σx′ + σy′ = −40 = σx + σy
答え
σy′ = 37.59 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 109.5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 0 MPa, R = 63.25 MPa
σ1 = 63.25 MPa, σ2 = −63.25 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(63.25² − 63.25·(−63.25) + (−63.25)²) = 109.5 MPa
答え
σvM = 109.5 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.273 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 10·1000/78.54 = 127.3 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 127.3/200000 = 0.0006366 = 636.6 µε
伸び
δ = ε·L = 0.0006366·2000 mm = 1.273 mm
答え
δ = 1.273 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 397.9 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 83.15 MPa
σ2 = 397.9 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 397.9 MPa
答え
σmax = 397.9 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 28.56 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/3000² = 28558 N = 28.56 kN
答え
Pcr = 28.56 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 17.27 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
答え
σcr = 17.27 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.08014
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/5)·ln(10/0.8) = 0.5051
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5051/√(39.48 + 0.2552) = 0.08014
答え
ζ = 0.08014
12.機械振動
答え: fn = 5.099 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 15 + 50 = 65 kN/m
keq = 65·30/(65 + 30) = 20.53 kN/m
固有振動数
ωn = √(20526/20) = 32.04 rad/s
fn = 32.04/(2π) = 5.099 Hz
答え
fn = 5.099 Hz
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